如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点,则 向量OC·向量OD 的取值范围是 .
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 00:41:46
![如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点,则 向量OC·向量OD 的取值范围是 .](/uploads/image/z/12543687-63-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E9%95%BF%E5%BA%A6%E4%B8%BA2%2C%E7%82%B9A%2CB%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8x%E9%9D%9E%E8%B4%9F%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E5%92%8Cy%E9%9D%9E%E8%B4%9F%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E6%BB%91%E5%8A%A8%2C%E4%BB%A5%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E4%B8%BA%E4%B8%80%E8%BE%B9%2C%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E5%86%85%E4%BD%9C%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%2CBC%3D1%2CO%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E5%88%99+%E5%90%91%E9%87%8FOC%C2%B7%E5%90%91%E9%87%8FOD+%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%E6%98%AF+.)
如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点,则 向量OC·向量OD 的取值范围是 .
如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点,则 向量OC·向量OD 的取值范围是 .
如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点,则 向量OC·向量OD 的取值范围是 .
1)如果θ = 0,此时点A(2,0),点B(0,0),所以点C(0,1),点D(2,1),此时向量OC·OD = 1 ;\x0d2)如果θ = π/2,此时点A(0,0),点B(0,2),所以点C(1,2),点D(1,0),此时向量OC·OD = 1 ;\x0d3)如果θ∈(0,π/2),此时kAB= (2sinθ – 0)/(0 – 2cosθ) = -tanθ,因为矩形ABCD在,所以BC⊥AB,而且AD⊥AB,所以kBC = kAD = -1/kAB= 1/tanθ,所以直线BC的方程为y = (1/tanθ)x+ 2sinθ,所以BC = √[(1/tanθ)2+ 1]*|xC –xB| = √[(cos2θ/sin2θ) + 1]*xC = (1/sinθ)xC = 1,所以xC = sinθ,代入直线BC的方程可得yC= cosθ + 2sinθ,所以点C(sinθ,cosθ + 2sinθ);\x0d所以直线AD的方程为y = (1/tanθ)(x– 2cosθ),所以AD = √[(1/tanθ)2+ 1]*|xD –xA| = √[(cos2θ/sin2θ) + 1]*|xD –2cosθ| = (1/sinθ)(xD –2cosθ)= 1,所以xD = 2cosθ +sinθ,代入直线AD的方程可得yD= cosθ,所以点D(2cosθ + sinθ,cosθ) ;\x0d所以向量OC·OD = sinθ(2cosθ + sinθ) + (cosθ + 2sinθ)cosθ = 2sinθcosθ + sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ = 1 + 2sin2θ,因为θ∈(0,π/2),所以2θ∈(0,π) => sin2θ∈(0,1] => 2sin2θ∈(0,2] => (1 + 2sin2θ)∈(1,3] ;\x0d综上所述,向量OC·OD的取值范围是[1,3].