设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 04:05:32
设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值
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设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值
设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值

设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值
y=sin(θ/2)(1+cosθ)=sin(θ/2).2[cos(θ/2)]^2
=2sin(θ/2)-2[sin(θ/2)]^3
另 t=sin(θ/2)
由于:(0,π),故:
(θ/2)~(0,π/2)
因此:
[sin(θ/2)]~(0,1)
即是t的范围为:
(0,1)
因此:
y=2sin(θ/2)-2[sin(θ/2)]^3
=2t-2t^3 (0,1)
对y求导得:
y'=-6t^2+2
解得:
增区间为:[-√3/3,√3/3]
减区间为:(-∞,-√3/3]U[√3/3,+∞)
由于t~(0,1),故最大值为:
ymax=y(√3/3)
=2√3/3 - 2x(√3/3)^3
=4√3/9

题目是sin(θ/2)(1+cosθ)还是1/2sinθ(1+cosθ)?若是前者
y=...=2sinθ/2-2(sinθ/2)^3,设t=sinθ/2,t在(0,1)则
y=2t-2t^3
y'=2-6t^2=0 ,t=正负根3分之一,最值就在这两个点取得,验证一下
则最大值9分之4倍根3