三角函数的综合题已知函数f(X)=cos^2x,g(x)=1+1/2sin2x1)若点A(α,y)(α∈[0,π/4])为函数f(x)与g(x)的图象的公共点,试求实数α的值2)设x=x.是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2x.)的值3)求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 21:07:54
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三角函数的综合题已知函数f(X)=cos^2x,g(x)=1+1/2sin2x1)若点A(α,y)(α∈[0,π/4])为函数f(x)与g(x)的图象的公共点,试求实数α的值2)设x=x.是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2x.)的值3)求
三角函数的综合题
已知函数f(X)=cos^2x,g(x)=1+1/2sin2x
1)若点A(α,y)(α∈[0,π/4])为函数f(x)与g(x)的图象的公共点,试求实数α的值
2)设x=x.是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2x.)的值
3)求函数h(x)=f(x)+g(x),x∈[0,π/4]的值域
三角函数的综合题已知函数f(X)=cos^2x,g(x)=1+1/2sin2x1)若点A(α,y)(α∈[0,π/4])为函数f(x)与g(x)的图象的公共点,试求实数α的值2)设x=x.是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2x.)的值3)求
1)联立y=cos²α,y=1+1/2sin2α,消去y有:
cos²α=1+1/2sin2α
(1+cos2α)/2=1+1/2sin2α
1+cos2α=2+sin2α
cos2α-sin2α=1
cos2αcosπ/4-sin2αsinπ/4=√2/2
cos(2α+π/4)=√2/2
又α∈[0,π/4],2α+π/4∈[π/4,3π/4]
∴2α+π/4=π/4
α=0
2)
f(x)=cos²x=(1+cos2x)/2
y=cosx的对称轴为:y=kπ,k∈Z,
∴f(x)的对称轴为:2x=kπ,x=kπ/2,k∈Z
g(2x)=g(kπ)=1+1/2sin2kπ=1
3)
h(x)=f(x)+g(x)=cos²x+1/2sin2x=(1+cos2x)/2 +1/2sin2x
=(cos2x+sin2x)/2 +1/2
=(sinπ/4cos2x+cosπ/4sin2x)√2/2+1/2
=(√2/2)sin(2x+π/4)+1/2
又x∈[0,π/4],2x+π/4∈[0,3π/4],
∴sin(2x+π/4)∈[√2/2,1]
∴ √2/2 *√2/2+ 1/2≤h(x)≤√2/2*1 +1/2
h(x)的值域为:[1,(√2+1)/2]
(1)∵f(α)=g(α)
∴1/2cos2α-1/4sin2α=1/2
∴(根5)/4[2/(根5)cos2α-1/(根5)sin2α]=1/2
∴cos(2α+β)=2/(根5)(设cosβ=2/(根5))
∴2α=2kπ (k∈N)
∴α=kπ (k∈N)
(2)x0=kπ(k∈N)
g(2x0)=1+1/2sin4x0=1+1/2si...
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(1)∵f(α)=g(α)
∴1/2cos2α-1/4sin2α=1/2
∴(根5)/4[2/(根5)cos2α-1/(根5)sin2α]=1/2
∴cos(2α+β)=2/(根5)(设cosβ=2/(根5))
∴2α=2kπ (k∈N)
∴α=kπ (k∈N)
(2)x0=kπ(k∈N)
g(2x0)=1+1/2sin4x0=1+1/2sin(4kπ)=1
(3)h(x)=cos2x+1/2sin2x+1
=(根5)/2[2/(根5)cos2x+1/(根5)sin2x]+1
=(根5)/2sin(2x+γ)+1(设sinγ=2/(根5)且β∈(0,π/2))
∵2x∈[0,π/2]
∴h(x)∈[3/2,2]
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