人教版数学22.3 第十题答案及过程

人教版数学22.3 第十题答案及过程
人教版数学22.3 第十题答案及过程

人教版数学22.3 第十题答案及过程
这种问题最好答了,
所谓的双筛法是指,在加法关系M=a+b中,表M为两个自然数之和,有：
　　 M=1+(M-1)=2+(M-2)=…=M/2+M/2
　　那么,根据公式：
　　 M=np=(n-m)p+mp和M=nq+r=(n-m)q+mq+r
　　若对其中的合数予以删除.于公式M=np=(n-m)p+mp时,由于具有素因数p的合数总是在同一个a+b元素中相加,每隔p个a+b元素只有一个,所占有的比例为1/p,那么,与之互素的a+b元素之比例为1-1/p.于公式M=nq+r=(n-m)q+mq+r时,由于具有素因数p的合数总是不能在同一个a+b元素中相加,(n-m)q与mq有位差r,故而,每隔p个a+b元素有二个,所占有的比例为2/q,那么,与之互素的a+b元素之比例为1-2/q.因此,在哥德巴赫猜想中,欲运用筛法,必须视偶数M的素因子之不同而分别对待,是不能视之为同一的；因为诸偶数M对于相加的a+b元素中就素数及合数之性质,都有其各自的特征,定由唯一分解定理而确定的偶数M的诸素因数,我们将其称之为特征.
　　 正是由于诸偶数M的特征之不同,所筛掉的具有合数性质的a+b元素也就不尽相同,于是乎,筛后留剩下来的p(1,1)之元素的个数也就不尽相同.若按诸偶数M的唯一分解定理而序,那么,所获得的p(1,1)之元素的个数又是怎样的呢?其不再是呈现出忽多忽少之现象,而是随着M之数值的递升而增多.举例如下：
　　
　　 设M=2^n.
　　当M=8时,有:
　　 8=1+7=2+(6)=3+5=(4+4).
　　当M=16时,有:
　　 16=1+(15)=2+(14)=3+13=(4+12)=5+11=(6+10)=7+(9)=(8+8).
　　当M=32时,有:
　　 32=1+31=3+29=5+(27)=7+(25)=(9)+23=11+(21)=13+19=(15)+17.
　　当M=64时,有：
　　 64=1+(63)=3+61=5+59=7+(57)=(9+55)=11+53=13+(51)=(15+49)
　　 =17+47=19+(45)=(21)+43=23+41=(25+39)=(27)+37=29+(35)
　　 =31+(33).
　　 在M=2^n时,只有2的倍数可在同一个a+b元素中相加,其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加.
　　
　　 设M=(2^n)(3^m).
　　当M=6时,有：
　　 6=1+5=2+(4)=3+3.
　　当M=12时,有：
　　 12=1+11=2+(10)=3+(9)=(4+8)=5+7=(6+6).
　　当M=18时,有：
　　 18=1+17=2+(16)=3+(15)=(4+14)=5+13=(6+12)=7+11=(8+10)=(9+9).
　　当M=24时,有：
　　 24=1+23=3+(21)=5+19=7+17=(9+15)=11+13.
　　当M=36时,有：
　　 36=1+(35)=3+(33)=5+31=7+29=(9)+27=11+(25)=13+23=(15+21)=17+19.
　　当M=48时,有：
　　 48=1+47=3+(45)=5+43=7+41=(9+39)=11+37=13+(35)=(15+33)
　　 =17+31=19+29=(21+27)=23+(25).
　　 在M=(2^n)(3^m)时,只有2的倍数和3的倍数可在同一个a+b元素中相加,其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加.
　　
　　 设M=(2^n)(5^m).
　　当M=10时,有：
　　 10=1+(9)=2+(8)=3+7=(4+6)=5+5.
　　当M=20时,有：
　　 20=1+19=2+(18)=3+17=(4+16)=5+(15)
　　 =(6+14)=7+13=(8+12)=(9)+11=(10+10).
　　当M=40时,有：
　　 40=1+(39)=3+37=5+(35)=7+(33)=(9)+31=11+29=13+(27)
　　 =(15+25)=17+23=19+(21).
　　当M=50时,有：
　　 50=1+(49)=3+47=5+(45)=7+43=(9)+41=11+(39)=13+37
　　 =(15+35)=17+(33)=19+31=(21)+29=23+(27)=(25+25).
　　当M=80时,有：
　　 80=1+79=3+(77)=5+(75)=7+73=(9)+71=11+(69)=13+67
　　 =(15+65)=17+(63)=19+61=(21)+59=23+(57)=(25+55)
　　 =(27)+53=29+(51)=31+(49)=(33)+47=(35+45)=37+43=(39)+41.
　　 在M=(2^n)(5^m)时,只有2的倍数和5的倍数可在同一个a+b元素中相加,其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加.
　　
　　 设M=(2^n)(3^m)(5^k).
　　当M=30时,有：
　　 30=1+29=3+(27)=5+(25)=7+23=(9+21)=11+19=13+17=(15+15).
　　当M=60时,有：
　　 60=1+59=3+(57)=5+(55)=7+53=(9+51)=11+(49)=13+47
　　 =(15+45)=17+43=19+41=(21+39)=23+37=(25+35)=(27+33)=29+31.
　　当M=90时,有：
　　 90=1+89=3+(87)=5+(85)=7+83=(9+81)=11+79=13+(77)
　　 =(15+75)=17+73=19+71=(21+69)=23+67=(25+65)=(27+63)
　　 =29+61=31+59=(33+57)=(35+55)=37+53=(39+51)=41+(49)
　　 =43+47=(45+45).
　　 在M=(2^n)(3^m)(5^k)时,只有2的倍数、3的倍数和5的倍数可在同一个a+b元素中相加,其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加.
　　
　　 这是由于,若按诸偶数M的唯一分解定理而序,那么,诸偶数M的素因数都是相同的,故而,它们都具有相同的特征,所不同的只是那些非特征的筛子.因为随着偶数M数值的递升,不大于√M的素数就会增多,那么,与不大于√M的素数互素的元素中,就会增添与这些素数互素之比例.如此,对于特征的互素之比例,都有划一的系数：∏(1-1/p)；而对于非特征的互素之比例：∏(1-2/q),必须视偶数M的数值而定.这样,对于哥德巴赫猜想,我们就可以获得一般之
　　 p(1,1)=M/2∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|M q⊥M
　　符号“⊥”表示不整除.
　　 将这一般之解的系数作移位相约,用后一分式中的分子与前一分式中的分母相约,可以得到,∏(1-1/p)∏(1-2/q)≥1/(2*p_n)；之所以要保留因式1/2,这是因为,素数3有可能不是特征,则1-2/3=1/3,移位相约时有可能没有将因式1/2中的分母约掉.除此之外,其它的素数之间隔均不小于2,移位后分子与分母相约均不小于1,只留下所谓的最后一因式中的分母没有相约的对象,故而,不等式成立.将此不等式代入一般之解中,则有：
　　 p(1,1)≥M/(2*2*p_n)≥M/(4*√M)=√M/4
　　当M→∞时,有√M/4→∞；哥德巴赫猜想为真.