作业帮大家来帮我想一道数学题哈已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a的平方 -1)*(1/b的平方 -1 )的最小值是多少?嫌麻烦的话就把过程简略写出来就可以了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 01:51:02
大家来帮我想一道数学题哈已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a的平方 -1)*(1/b的平方 -1 )的最小值是多少?嫌麻烦的话就把过程简略写出来就可以了
大家来帮我想一道数学题哈
已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a的平方 -1)*(1/b的平方 -1 )的最小值是多少?
嫌麻烦的话就把过程简略写出来就可以了
大家来帮我想一道数学题哈已知a>0,b>0,且a+b=1,则(1/a的平方 -1)*(1/b的平方 -1 )的最小值是多少?嫌麻烦的话就把过程简略写出来就可以了
最小值是9
过程是这样的：
(1/a^2-1)(1/b^2-1)=(1/a+1)(1/a-1)(1/b+1)(1/b-1)
第二项(1/a-1)可以变为(1-a)/a,因为a+b=1,也就是这项可以等于b/a
同理,第四项可以等于(1-b)/b,也就等于a/b
那么这两项就消掉了
所以整个式子变为(1/a+1)(1/b+1)=[(1+a)/a][(1+b)/b]=(1+a)(1+b)/ab=(1+a+b+ab)/ab
因为 a+b=1 所以等式继续变为 (1+1+ab)/ab=2/ab+1
要此式的值最小,也就是要a*b的值最大
我不知道你有没有学过高等数学,学过就好说了,a*b=a(1-a)=a-a^2 .①
要此式的值最大,需要对其求导 (a-a^2)'=1-2a
在此式等于0的时候,是①式的最大值,1-2a=0 于是解得a=0.5
代入原式中,得到原式最小值为9
如果你还没有学过高等数学的话.那就有点麻烦,也许你可以试几个值带进去,就能大概看出规律,极值应该在a=b的时候.因为在此题中a与b的情况是完全相等的.如果答案不是a=b的时候,就会出现两个最小值,但是这个简单二次曲线只应该有1个谷,所以极值应该在a=b=0.5的位置
哦想起来了,在这种情况下,a+b=1,要a*b最大,你可以参考在周长一致的情况下,正方形比长方形的面积大,所以极值应该在a=b的时候
我们多试几下,
就知道,无论a=什么,b=什么,(1/a的平方 -1)×(1/b的平方 -1 )都=1
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