高考数论题,正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},……记第n组各数之和为An ;由自然数的立方构成下列数组:{0^3,1^3} ,{1^3,2^3},{2^3,3^3 },{3^3,4^3}……记第n组中两数之和为Bn ,则An-Bn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 00:00:42
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高考数论题,正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},……记第n组各数之和为An ;由自然数的立方构成下列数组:{0^3,1^3} ,{1^3,2^3},{2^3,3^3 },{3^3,4^3}……记第n组中两数之和为Bn ,则An-Bn
高考数论题,
正整数按下列方法分组:
{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},……记第n组各数之和为An ;由自然数的立方构成下列数组:{0^3,1^3} ,{1^3,2^3},{2^3,3^3 },{3^3,4^3}……记第n组中两数之和为Bn ,则An-Bn
高考数论题,正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},……记第n组各数之和为An ;由自然数的立方构成下列数组:{0^3,1^3} ,{1^3,2^3},{2^3,3^3 },{3^3,4^3}……记第n组中两数之和为Bn ,则An-Bn
如果不是证明题的话,可以直接猜:
1=0^3+1^3,2+3+4=1^3+2^3,5+6+7+8+9=2^3+3^3…以此类推下去可以得到结论,当然也可以直接证出来:
显然,Bn=(n-1)^3+n^3,下面求An,
第n组有2n-1个数,前面n-1组共有1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)(n-1)个数,那么第n组的第一个数是(n-1)(n-1)+1,所以An=[(n-1)(n-1)+1]+[(n-1)(n-1)+2]+…+[(n-1)(n-1)+(2n-1)]=
(2n-1)(n-1)(n-1)+n(2n-1),两式相减,即可得结果0.
当然求An可以更直接些,第一个数是(n-1)(n-1)+1,最后一个是n的平方(根据前面n-1组共有1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)(n-1)个数得出),然后根据等差数列的性质,计算得出