例如二次函数与动点问题,二次函数与与面积问题

例如二次函数与动点问题,二次函数与与面积问题
例如二次函数与动点问题,二次函数与与面积问题

例如二次函数与动点问题,二次函数与与面积问题

已知：抛物线y= -x^2 +2x +8交X轴于A、B两点（A在B左侧）,O是坐标原点. 

1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合）,D是OP中点,BD延长线交AP于E 

问：在P点运动过程中,PE：PA是否是定值?是,求出其值；不是,请说明理由. 

2、在第1问的条件下,是否存在点P,使△PDE的面积等于1 ? 

若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由. 

1.y= -x^2 +2x +8=-(x-4)(x+2) 

所以OA=2 OB=4 

自己画图,由△面积等于底*高/2. 

可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE 

由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE 

所以PE:EA=S△ODE:S△ADE 

由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH 

显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3 

所以PE:EA=2:3 

那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值 

2.设P点为(X,Y) 

PE：PA=2:5 

所以S△PDE=(2/5)*S△PDA 

S△AOP=Y*2/2=Y 

S△AOD=Y/2(因为D是OP中点) 

所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2 

则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5 

当S△PDE=1时 Y=5 

对应X=-1或2 

则P点坐标为(-1,5)或(2,5) 

2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米,高6米,如图5车辆双向通行.规定车辆必须在中心线右侧,距道路边缘2米这一范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙,你能否据这些要求,确定通过隧道车辆的高度限制? 

先建立直角坐标系 

设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方 +6 

当x=6时,y=0,a=1/6 

解析式是 y=1/6 x的平方+6 

当x=6-2=4时,y=3/10 

因为顶部与.有1/3的空隙 

所以只能达到3米 

（这题是要你看清题目中的条件,函数最重要的就是定义域,一定要准确把握定义域的范围）

3.平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为（6,0）,（6,8）.动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连结MP.已知动点运动了x秒. 

（1）P点的坐标为（ , ）；（用含x的代数式表示） 

（2）试求 ⊿MPA面积的最大值,并求此时x的值. 

（3）请你探索：当x为何值时,⊿MPA是一个等腰三角形? 

你发现了几种情况?写出你的研究成果. 

（1）（6—x , 4/3 x ）; (2)设⊿MPA的面积为S,在⊿MPA中,MA=6—x,MA边上的高为 x,其中,0≤x≤6.∴S= （6—x）× 4/3 x= (—x的平方+6x) = - 2/3 (x—3)的平方+6 

∴S的最大值为6, 此时x =3. (3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA 

①若MP＝PA ∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x. ∴3x=6, ∴x=2; 

②若MP＝MA,则MQ＝6—2x,PQ= 4/3x,PM＝MA＝6—x 

在Rt⊿PMQ 中,∵PM2＝MQ方＋PQ方 ∴(6—x)的平方=(6—2x)的平方+ ( 4/3x)的平方∴x= 108/43 

③若PA＝AM,∵PA＝5/3 x,AM＝6—x ∴5/3 x=6—x ∴x= 9/4 

综上所述,x=2,或x= 108/43,或x=9/4 . 

已知:如图,在Rt三角形ABC中,角C=90度,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE垂直于AC,DF垂直于BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y

（1）求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围；

（2）设四边形DECF的面积为S, 求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值

（1）∵DE⊥AC,而∠C=90°,∴DE‖BD,∴ΔADE∽ΔABC,

∵D在线段AB上,∴0<DE<BC,即0<DE<4；

∴AE/DE=AC/BC=8/4=2,∴AE=2DE=2x,∴EC=AC-AE=8-2x,

∵DF⊥BC,∴四边形DECF是矩形,∴DF=EC,又DF=y,

∴y=8-2x,一般写作y=-2x+8；且0<x<4；

（2）矩形DECF的面积为：S=DE×DF,即S=x×y=x×(-2x+8),

化简得：S=-2x2+8x,变形得S=-2(x-2)2+8,

即当x=2时,Smax=8. 

注：第1问考察了相似三角形的运用,

第2问考察了函数极值的求法.