作业帮过点P(2,1)作直线l,分别交x轴y轴于A,B两点,当三角形AOB的面积为4时,求直线l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 20:51:37
过点P(2,1)作直线l,分别交x轴y轴于A,B两点,当三角形AOB的面积为4时,求直线l的方程
过点P(2,1)作直线l,分别交x轴y轴于A,B两点,当三角形AOB的面积为4时,求直线l的方程
过点P(2,1)作直线l,分别交x轴y轴于A,B两点,当三角形AOB的面积为4时,求直线l的方程
设直线方程为y-1=k(x-2)
其与x轴交点为y=0,x=(2k-1)/k
与y轴交点为x=0,y=1-2k
S△AOB=1/2(2k-1)/k*(1-2k)=4
即4k²+4k+1=(2k+1)²=0
∴k=-1/2
直线方程为：y-1=-(x-2)/2,即x+2y-4=0
设直线解析式为y=kx+b
把点P(2,1)代入
1=2k+b b=1-2k
y=kx+1-2k
当x=0 y=1-2k
当y=0 x=(2k-1)/k
面积=|1-2k||(2k-1)/k|/2=4
解得 k=-1/2 或k=(12±根号下126)/8
所以 y=-x/2+2 或 y=(12±根号下126)x/8+1-(12±根号下126)/4
设l在x轴和在y轴上的截距是a和b，l的方程是：x/a+y/b=1。
将点(2,1)代入直线方程：2/a+1/b=1(b<>1)，a=2b/(b-1)。
三角形AOB的面积=[ab]/2=[b^2/(b-1)]=4，b^2=4[b-1]。
1)b>1，b^2=4b-4，b=2，a=4。l方程是：x/4+y/2=1，x+2y-4=0。
2)b<1，b^2=-4b+4，...
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设l在x轴和在y轴上的截距是a和b，l的方程是：x/a+y/b=1。
将点(2,1)代入直线方程：2/a+1/b=1(b<>1)，a=2b/(b-1)。
三角形AOB的面积=[ab]/2=[b^2/(b-1)]=4，b^2=4[b-1]。
1)b>1，b^2=4b-4，b=2，a=4。l方程是：x/4+y/2=1，x+2y-4=0。
2)b<1，b^2=-4b+4，b=-2-2√2或b=-2+2√2。a=28+20√2或a=-28+20√2。
l方程是：x/(28+20√2)-y/(2√2+2)=1或x/(-28+20√2)+y/(2√2-2)=1。
综上所述，直线l的方程为：x+2y-4=0或x/(28+20√2)-y/(2√2+2)=1或x/(-28+20√2)+y/(2√2-2)=1。
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