如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 01:23:13
![如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC](/uploads/image/z/13014101-29-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E7%A4%BA%2C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%E5%B7%B2%E7%9F%A5%3AAD%E6%98%AF%E2%88%A0A%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3AAB%E6%AF%94AC%3DBD%E6%AF%94DC)
如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC
如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC
如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC
延长AD
再其延长线上取一点E,使BE=BD
△BDE为等腰三角形
∠BED=∠BDE=∠ADC
又∠BAD=∠DAC
∴△ABE∽△ACD
∴AB:AC = BE:DC
∵BE=BD
∴AB:AC = BD:DC
用正弦定理。bd/sin∠bad=ad/sin∠b,dc/sin∠cad=ad/sin∠c,解得,bd/dc=sin∠c/sin∠b(1式)。同理,由ad/sinb=ab/sin∠adb,ad/sin∠c=ac/sin∠adc,因为∠adb+∠adc=180°,所以,sin∠adb=sin∠adc,所以,ab/ac=sin∠c/sin∠b(2式)。由1式和2式得,AB/AC=BD/DC
证明:过点B做BE∥AC,交AD的延长线与点E
∵BE∥AC ∴ ∠BED=∠DAC
∵AD是∠A的平分线 ∴∠BAD=∠DAC
∴∠BED=∠BAD AB=BE
∵ ∠BED=∠DAC ∠BDE=∠ADC
∴△BDE∽△ADC
BD:CD=BE:AC
全部展开
证明:过点B做BE∥AC,交AD的延长线与点E
∵BE∥AC ∴ ∠BED=∠DAC
∵AD是∠A的平分线 ∴∠BAD=∠DAC
∴∠BED=∠BAD AB=BE
∵ ∠BED=∠DAC ∠BDE=∠ADC
∴△BDE∽△ADC
BD:CD=BE:AC
∵ AB=BE
∴BD:CD=AB:AC
即BAB:AC=BD:CD
收起
过B点做直线BE平行AC,交AD的延长线与E点,则三角形ADC相似与三角形BDE