以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 16:46:43
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以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点
且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
∵AB 是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
作CD⊥AB于D
根据三角形的面积公式可得:
AC*BC=AB*CD=2OC*CD
∵OC^2=AC *BC
∴OC^2=2OC*CD
∴OC =2CD
∴∠COD=30°
∴当点D在OB上时,∠CAB=15°
当点D在OA上时,∠CAB=75°
因为AB是直径,C是圆上一点,所以三角形ABC为直角三角形,设该三角形面和为S,则S=AC*BC/2,即AC*BC=2S,由题意知OC*OC=2S,即S=R*R/2——(1)
设角AOC=X,则三角形ABC的面积又可等于三角形AOC与三角形BOC的面积和,即
S=R*RsinX/2+R*Rsin(180-X)/2=R*RsinX——(2)
由(1)(2)得sinX=1/2,...
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因为AB是直径,C是圆上一点,所以三角形ABC为直角三角形,设该三角形面和为S,则S=AC*BC/2,即AC*BC=2S,由题意知OC*OC=2S,即S=R*R/2——(1)
设角AOC=X,则三角形ABC的面积又可等于三角形AOC与三角形BOC的面积和,即
S=R*RsinX/2+R*Rsin(180-X)/2=R*RsinX——(2)
由(1)(2)得sinX=1/2,X=30度 或 X=150度
三角形AOC为等腰三角形,而内角和为180度,所以角CAB=(180-30)/2=75度
或角CAB=(180-150)/2=15度
收起
两位解答基本正确,我用图解释。红蓝两线显示了两种不同的情况。 以C1情况作说明:作CH垂直于AB于H,AC×BC=两倍ABC的面积,设圆半径为r,那么依题意,AB×CH=AC×BC=r平方,又由于AB=2r,所以CH=r/2,所以在RT三角形CHO内,即可算出角COH=30度,那么角A就是15度。75度的情况也是类似的。只不过反过来而已。