已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的园上,且√2/2<e≤√3/2,求K的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 19:08:01
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已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的园上,且√2/2<e≤√3/2,求K的取值范围
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、N分别为线段
AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的园上,且√2/2<e≤√3/2,求K的取值范围
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的园上,且√2/2<e≤√3/2,求K的取值范围
可能我的回答看着比较麻烦:/是分数线,乘号省略
设A坐标为(x1,kx1),B坐标为(x2,kx2)——体现出在直线y=kx上
用中点坐标公式可知M坐标((x1+3)/2,kx1/2),N坐标((x2+3)/2,kx2/2)
因为原点O在以MN为直径的圆上,所以OM⊥ON,所以两向量点积得0
即:(x1+3)(x2+3)/4+k²x1x2/4=0
x1x2+3(x1+x2)+9+k²x1x2=0
(k²+1)x1x2+3(x1+x2)+9=0——①
直线方程和椭圆方程联立,得(a²k²+b²)x²-a²b²=0
由韦达定理可知x1+x2=0,x1x2=-a²b²/(a²k²+b²)
代入①得-a²b²(k²+1)/(a²k²+b²)+9=0
a²b²(k²+1)/(a²k²+b²)=9
a²b²k²+a²b²=9a²k²+9b²
(9a²-a²b²)k²=a²b²-9b²
k²=(a²-9)b²/a²(9-b²)
c=3,c²=9,b²=a²-c²=a²-9
k²=(a²-9)²/a²(18-a²)=——②
因为e²=c²/a²,且e∈(√2/2,√3/2]
e²∈(1/2,3/4]
可解得a²∈(12,18]
把②去括号并进行变化得(设a²=t)
k²=81/(18t-t²)-1——注意正负
因为t∈(12,18],18t-t²∈[0,72),81/(18t-t²)∈(9/8,+∞)
所以k²>1/8
k∈(-∞,-√2/4)∪(√2/4,+∞)
解析几何就是比较麻烦,耐着性子做就行了,不明白的地方可以继续问我