作业帮试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论 请问为什么要验证n=1直到三
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/05 22:23:24
试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论 请问为什么要验证n=1直到三
试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论 请问为什么要验证n=1直到三
试比较2^n+2与n^2的大小,（n属于正整数）,并用数学归纳法证明你的结论 请问为什么要验证n=1直到三
因为当n>3的时候,是可以根据求导得出结果的.
2^n-n²-2>0
把它n换成x
进行求导,可知道x>3函数递增,x
这个很简单，数列2^n+2的增长情况与2^n是一样的，只差一个常数项
而我知道2^n在n=3的是是小于n^2的
因此如果只用作差法的话，是无法直接得到结论的。（我甚至不需要直接计算出前后项的差就知道）
当然你也可以选择一些麻烦的手段来处理前三项，也许也有行得通的手段，但与其如此不如直接验证即可，反正只有三项。...
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这个很简单，数列2^n+2的增长情况与2^n是一样的，只差一个常数项
而我知道2^n在n=3的是是小于n^2的
因此如果只用作差法的话，是无法直接得到结论的。（我甚至不需要直接计算出前后项的差就知道）
当然你也可以选择一些麻烦的手段来处理前三项，也许也有行得通的手段，但与其如此不如直接验证即可，反正只有三项。
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当 2^n+2=4 , n^2=1 2^n>n^2
当n=2 2^n+2=6 , n^2=4 2^n>n^2
当n=3 2^n+2=10 , n^2=9 2^n>n^2
猜想2^n+2>n^2
当n=1时已经成立
假设对于n-1情形猜想都成立即2^(n-1)-2>(n-1)^2
那么对于n 有
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当 2^n+2=4 , n^2=1 2^n>n^2
当n=2 2^n+2=6 , n^2=4 2^n>n^2
当n=3 2^n+2=10 , n^2=9 2^n>n^2
猜想2^n+2>n^2
当n=1时已经成立
假设对于n-1情形猜想都成立即2^(n-1)-2>(n-1)^2
那么对于n 有
2^n+2-n^2
=2*2^(n-1)+2-(2n-1+(n-1)^2)
=2(2^(n-1)-(n-1)^2)+(n-1)^2-2n+3
=2(2^(n-1)-(n-1)^2)+(n-2)^2
>0 ((2^(n-1)-(n-1)^2)>0；(n-2)^2>=0)
综上知猜想成立
之所以要验证到三是为了找规律
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设an=2^n+2-n^2
a1>0
a2>0
a3>0
a4>0
下面解释为何要验证n=1到3
利用数学归纳法时，
假设n=k时，ak>0
则当n=k+1时，a(k+1)=ak+2^k-(2k+1)
现在你最希望得到的就是2^k-(2k+1)>0
设bn=2^n-2n-1
b1<0
b2<0
...
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设an=2^n+2-n^2
a1>0
a2>0
a3>0
a4>0
下面解释为何要验证n=1到3
利用数学归纳法时，
假设n=k时，ak>0
则当n=k+1时，a(k+1)=ak+2^k-(2k+1)
现在你最希望得到的就是2^k-(2k+1)>0
设bn=2^n-2n-1
b1<0
b2<0
b3>0
下证当n>=3时，bn>0
假设n=m时，bm>0 (m>=3)
则当n=m+1时，b(m+1)=2^m-2+bm>0
因为对n=m+1也成立，故有当n>=3时，bn>0
下面才有a(k+1)=ak+2^k-2k-1>0在k>=3上恒成立．
然后数学归纳法才可以一直递推下去,得到n>=3时2^n=2>n^2,
加上前2项得到
2^n=2>n^2,
下面就可以很清楚为何要验证n=1直到三，是因为前三项不具有可供使用归纳法的一般性．
以后还会有很多类似问题，需要多次嵌套使用归纳法．
希望可以帮助你．
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