高校里学微积分,我发现书里的理论都是很早以前发展的,那现代数学发展成了怎样的景象?还有我学过复变函数,这好像是另一个数学分支,那还有哪些高等的数学分支?简单粗浅介绍即可

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数学 分类参考
◆ 数学史
* 中国数学史
* 外国数学史：巴比伦数学,埃及古代数学,希腊古代数学,印度古代数学,玛雅数学,阿拉伯数学,欧洲中世纪数学,十六、十七世纪数学,十八世纪数学,十九世纪数学.
* 中国数学家：刘徽 祖冲之 祖暅 王孝通 李冶 秦九韶 杨辉 王恂 郭守敬 朱世杰 程大位 徐光启 梅文鼎 年希尧 明安图 汪莱 李锐 项名达 戴煦 李善兰 华蘅芳 姜立夫 钱宝琮 李俨 陈建功 熊庆来 苏步青 江泽涵 许宝騄 华罗庚 陈省身 林家翘 吴文俊 陈景润 丘成桐
* 国外数字家：泰勒斯 毕达哥拉斯 欧多克索斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 丢番图 帕普斯 许帕提娅 阿耶波多第一 博伊西斯,A.M.S. 婆罗摩笈多 花拉子米 巴塔尼 阿布·瓦法 奥马·海亚姆 婆什迦罗第二 斐波那契,L. 纳西尔丁·图西 布雷德沃丁,T. 奥尔斯姆,N. 卡西 雷格蒙塔努斯,J. 塔尔塔利亚,N. 卡尔达诺,G. 费拉里,L. 邦贝利,R. 韦达,F. 斯蒂文,S. 纳皮尔,J. 德扎格,G. 笛卡尔,R. 卡瓦列里,(F)B. 费马,P.de 沃利斯,J. 帕斯卡,B. 巴罗,I. 格雷果里,J. 関孝和 牛顿,I. 莱布尼茨,G.W. 洛必达,G.-F.-A.de 伯努利家族 棣莫弗,A. 泰勒,B. 马克劳林,C. 欧拉,L. 克莱罗,A.-C. 达朗贝尔,J.le R. 蒙蒂克拉,J.E. 朗伯,J.H. 贝祖,E. 拉格朗日,J.-L. 蒙日,G. 拉普拉斯,P.-S. 勒让德,A.-M. 傅里叶,J.-B.-J. 热尔岗,J.-D. 高斯,C.F. 泊松,S.-D. 波尔查诺,B. 贝塞尔,F.W. 彭赛列,J.-V. 柯西,A.-L. 麦比乌斯,A.F. 皮科克,G. 罗巴切夫斯基 格林,G 沙勒,M. 拉梅,G. 施泰纳,J. 施陶特,K.G.C.von 普吕克,J. 奥斯特罗格拉茨基,M.B. 阿贝尔,N.H. 波尔约,J. 斯图姆,C.-F. 雅可比,C.G.J. 狄利克雷,P.G.L. 哈密顿,W.R. 德·摩根,A. 刘维尔,J. 格拉斯曼,H.G. 库默尔,E.E. 伽罗瓦,E. 西尔维斯特,J.J. 外尔斯特拉斯,K.(T.W.) 布尔,G. 斯托克斯,G.G. 切比雪夫 凯莱,A. 埃尔米特,C. 艾森斯坦,F.G.M. 贝蒂,E. 克罗内克,L. 黎曼,(G.F.)B. 康托尔,M.B. 克里斯托费尔,E.B. 戴德金(J.W.)R. 杜布瓦-雷P.D.G. 诺伊曼,C.G.von 李普希茨,R.(O.S.). 克莱布什,R.F.A. 富克斯,I.L. 贝尔特拉米,E. 哥尔丹,P.A. 若尔当,C. 韦伯,H. 达布,(J.-)G. 李,M.S. 施瓦兹,H.A. 诺特,M. 康托尔,G.(F.P.) 克利福德,W.K. 米塔-列夫勒,(M.)G. 弗雷格,(F.L.)G. 克莱因,(C.)F. 弗罗贝尼乌斯,F.G. 柯瓦列夫斯卡娅,C.B. 亥维赛,O. 里奇,G. 庞加莱,(J.-)H. 马尔可夫,A.A. 皮卡,(C.-)E. 斯蒂尔杰斯,T.(J.) 李亚普诺夫,A.M. 皮亚诺,G. 胡尔维茨,A. 沃尔泰拉,V. 亨泽尔,K. 希尔伯特,D. 班勒卫,P. 闵科夫斯基,H. 阿达尔,J.(-S.) 弗雷德霍姆,(E.)I. 豪斯多夫,F. 嘉当,E.(-J.) 波莱尔,(F.-E.-J.-E) 策梅洛,E.F.F. 罗素,B.A.W. 列维-齐维塔,T. 卡拉西奥多里,C. 高木贞治 勒贝格,H.L. 哈代,G.H. 弗雷歇,M.-R. 富比尼,G. 里斯,F.(F.) 伯恩施坦,C.H. 布劳威尔,L.E.J. 诺特,(A.)E. 米泽斯,R.von 卢津,H.H. 伯克霍夫,G.D. 莱夫谢茨,S. 李特尔伍德,J.E. 外尔,(C.H.)H. 莱维,P. 赫克,E. 拉马努金,S.A. 费希尔,R.A. 维诺克拉多夫 莫尔斯 巴拿赫,S. 辛钦 霍普夫,H. 维纳,N. 奈望林纳,R. 西格尔,C.L. 阿廷,E. 哈塞,H. 扎里斯基,O. 博赫纳,S. 布饶尔,R.(D.) 塔尔斯基,A. 瓦尔德,A. 柯尔莫哥洛夫,A.H. 冯·诺伊曼,J. 嘉当,H. 卢伊,H. 哥德尔,K. 韦伊,A. 勒雷,.J. 惠特尼,H. 克列因 阿尔福斯,L.V. 庞特里亚金 谢瓦莱,C. 坎托罗维奇 盖尔范德 爱尔特希 施瓦尔茨 小平邦彦.
* 数字著作：《算数书》《算经十书》《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《数术记遗》《夏侯阳算经》《缉古算经》《数理精蕴》《畴人传》《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《四元玉鉴》《算法统宗》《则古昔斋算学》《几何原本》《自然哲学的数学原理》《几何基础》
* 中国古代数学计算方法：筹算,珠算,孙子剩余定理,增乘开方法,贾宪三角,招差法,盈不足术,百鸡术.
* 其他：纵横图,记数法,黄金分割,希腊几何三大问题,计算工具,和算,费尔兹奖,沃尔夫奖,希尔伯特数学问题,国际数学教育委员会,国际数学联合会,国际数学家大会,数学刊物,中国数学教育,中国数学研究机构,中国数学会.
◆ 数学基础：逻辑主义,形式主义,直觉主义.
◆ 数理逻辑
* 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等.
* 模型论：模态模型论,非标准模型等.
* 公理集合论：集合论公理系统,力迫方法,选择公理,连续统假设等.
* 逆归论：算法,递归函数,递归可枚举集,不可解度,广义递归论,判断问题,分层理论等.
* 证明论：数学无矛盾性,哥德尔不完备性定理,构造性数学,希尔伯计划等.
◆ 集合论：集合,映射,序数,基数,超限归纳法,悖论,数系（实数,虚数）,组合数学,图论（四色问题）、算术等.
◆ 代数学
* 多项式：代数方程等.
* 线性代数：行列式,线性方程组,矩阵,自向量空间,欧几里得空间,线性变换,线性型,二次性,多重线性代数等.
* 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等.
* 无限群：交换群,典型群,线性代数群,拓扑群,李群,变换群,算术群,半群等.
* 环：交换环,交换代数,结合代数,非结合代数-李代数,模,格-布尔代数等.
* 乏代数 * 范畴
* 同调代数-代数理论
* 域：代数扩张,超越扩张,伽罗瓦理论-代数基本定理,序域,赋值,代数函数域,有限域,p进数域等.
◆ 数论
* 初等数论：整除,同余,二次剩余,连分数,完全数,费马数,梅森数,伯努利数,数论函数,抽屉原理等.
* 不定方程：费马大定理等.
* 解析数论：筛法,素分布法,黎曼ζ函数,狄利克雷特征,狄利克雷L函数,堆垒数论-整数分拆,格点问题,欧拉常数等.
* 代数数论：库默尔扩张,分圆域,类域论等.
* 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模型式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何
◆ 几何学
* 欧几里得几何学-希尔伯特公理系统：欧里几得空间,坐标系,圆周率,多边形,多面体等.
* 解析几何学：直线,平面,二次曲线,二次曲面,二次曲线束,二次曲面束,初等几何变换,几何度量等.
* 三角学
* 综合几何学：尺规作图-希腊几何三大问题等.
* 仿射几何学：仿射变换等.
* 射影几何学：对偶原理,射影坐标,射影测度,绝对形,交比-圆点,直线几何等.
* 埃尔朗根纲领 * 百欧几里得几何学
* 微分几何学：曲线,曲面-直纹面-可展曲面-极小曲面等.
* 微分流形：张量,张量分析,外微分形式,流形上的偏微分算子,复流形,辛流形,黎曼几何学,常曲率黎曼空间-齐性空间-黎曼流形的变换群-闵科夫斯基空间,广义相对论,联络论,杨-米尔斯理论,射影微分几何学,仿射微分几何学,一般空间微分几何学,线汇论,积分几何学等.
◆ 拓扑学
* 一般拓扑学（拓扑空间,度量空间,维数,多值映射
* 代数拓扑学（同调论,同伦论-CW复形,纤维丛-复叠空间,不动点理论-闭曲面的分类-庞加莱猜想
* 微分拓扑学（流形-横截性
* 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论
◆ 分析学
* 微积分学
** 函数：初等函数,隐函数等.
** 极限：函数的连续性等.
** 级数
** 微分学：导数,微分,中值定理,极值等.
** 积分学：积分,原函数,积分法,广义积分,含参变量积分等.
** 多元微积分学：偏导数,全微分,方向导数,雅可比矩阵,雅可比行列式,向量,向量分析,场论等.
* 复变函数论：复变函数（解析函数,柯西积分定理,解析函数项级数,幂级数,泰勒级数,洛朗级数,留数,调和函数,最大模原理,共形映射,特殊函数,整函数,亚纯函数,解析开拓,椭圆函数,代数函数,模函数,函数值分布论,黎曼曲线,单叶函数,正规族,拟共形映射,解析函数边值问题,狄利克雷级数,解析函数边界性质,拉普拉斯变换,积分变换,泰希米勒空间,广义解析几何等）.
* 多复变函数论
* 实变函数论：勒贝格积分,有界变差函数,测度论,黎曼-斯蒂尔杰斯积分,赫尔德不等式,施瓦兹不等式,闵科夫斯基不等式,延森不等式等.
* 泛函分析：泛函数,函数空间,索伯列夫空间,拓扑线性空间,巴拿赫空间,半序线性空间,希尔伯特空间,谱论,向量值积分,线性算子,全连续算子,谱算子,线性算子扰动理论,赋范代数,广义函数,非线性算子（泛函积分,算子半群,遍历理论,不变子空间问题）等.
* 变分法：变分法,大范围变分法等.
* 函数逼近论：函数构造论,复变函数逼近（外尔斯特拉斯-斯通定理,拉格朗日插值多项式逼近,埃尔米特插值多项式逼近,三角多项式,连续模,强迫逼近,有理函数逼近,正交多项式,帕德逼近,沃外尔什逼近,联合逼近,抽象逼近,宽度,熵,线性正算子逼近,傅里叶和）等
* 傅里叶分析：三角函数,傅里叶级数,傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子,乘子,共轭函数,卢津问题,李特尔伍德-佩利理论,正交系,极大函数,面积积分,奇异积分,算子内插,BMO空间,Hp空间,奇异积分的变换子,佩利-维纳定理,卷积,Ap权）,概周期函数,群上调和分析（哈尔测度,正定函数,谱综合）等.
* 流形上的分析：霍奇理论,几何测度论,位势论等.
* 凸分析 * 非标准分析
◆ 微分方程
* 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分方程,泛函数分方程-微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似解,动力系统-拓扑动力系统-微分动力系统
* 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲守恒律的间断解,抛物型偏微分方程-热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题
* 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等.
◆ 计算数学
* 数值分析：数值微分等.
* 数值逼近：插值,曲线拟合等.
* 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法,有限差演算,有限差方程等.
* 常微分方程初值问题数值解法：单步法,多步法,龙格-库塔法,亚当斯法等.
* 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等.
* 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法
* 非线性方程组数值解法：迭代法,牛顿法等.
* 最优化
* 线性规划：单纯形方法等.
* 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算
* 蒙特卡罗达：伪随机数等.
* 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等.
* 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵,广义逆矩阵,对角优势矩阵,病态矩阵,消元法-高斯消去法,松驰法,共轭梯度法等.
* 偏微分方程边值问题差分方法
* 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学,特片线法,守恒格式,分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法）,有限差分方法,有限元方法,里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法）,玻耳兹曼方程数值解法,算图-诺模图等.
* 数值软件：并行算法,误差,最小二乘法,外推极限法,快速傅里叶变换-快速数论变换,数值稳定性,区间分析,计算复杂性等.
◆ 概率论
* 概率分布（数学期望,方差,矩,正态分布,二项分布,泊松分布
* 随机过程（马尔可夫过程,平稳过程,鞅,独立增量过程,点过程,布朗运动,泊松过程,分支过程,随机积分,随机微分方程,随机过程的极限定理,随机过程统计,滤波,无穷粒子随机系统等.
* 概率,随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望
◆ 数理统计学
* 参数估计：点估计,区间估计等.
* 假设检验：列联表等.
* 线性统计模型：回归分析,方差分析等.
* 多元统计分析：相关分析等.
* 统计质量管理：控制图,抽样检验,寿命数据统计分析,概率纸等.
* 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统计 * 统计决策理论 * 序贯分析
* 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析
◆ 运筹学
* 数学规则：线性规划,非线性规划,无约束优化方法,约束优化方法,几何规划,整数规划,多目标规划,动态规划-策略迭代法,不动点算法,组合最优化-网络流,投入产出分析等.
* 军事运筹学：彻斯特方程,对抗模拟,对策论,最优化等.
* 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学
◆ 数学物理
◆ 控制理论
◆ 信息论
◆ 理论计算机科学
◆ 模糊性数学