如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠ABE=105°,DB=2倍根号下3,求AE的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 18:29:42
如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠ABE=105°,DB=2倍根号下3,求AE的长
如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠ABE=105°,DB=2倍根号下3,求AE的长
如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠ABE=105°,DB=2倍根号下3,求AE的长
(1)证明:连接BO,(1分)
方法一:∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB(2分)
又在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线;(3分)
方法二:∵AB=AO,BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°(2分)
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线;
方法三:∵AB=AD=AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线;
∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中,cos∠BFA= BF/AF=23
∴ S△BEFS△ACF=(BF/AF)2=49
又∵S△BEF=8
∴S△ACF=18.