求数列 抽象数列已知a1=a,前n项和Sn,有a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n,求b(n)

求数列 抽象数列已知a1=a,前n项和Sn,有a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n,求b(n)
求数列 抽象数列
已知a1=a,前n项和Sn,有a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n,求b(n)

求数列 抽象数列已知a1=a,前n项和Sn,有a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n,求b(n)
一楼的错了,将n=1代入验证一下即知
a(n+1)=S(n+1)-Sn
S(n+1)-Sn=Sn+3^n
∴S(n+1)=2Sn+3^n
∴S(n+1)-3*3^n=2Sn-2*3^n
∴S(n+1)-3^(n+1)=2(Sn-3^n)
∴b(n+1)=2bn
又∵S1=a1=a,b1=a-3
∴bn为以a-3为首项,2为公比的等比数列
∴bn=(a-3)*2^(n-1)

b(n)=(a-2)*2^n
由a(n+1)=Sn+3^n 可得：
a(n+1)-2*3^n=2[a(n)-2*3^(n-1)]
构造一个数列c(n)
令 c(n+1)=a(n+1)-2*3^n
则 c1=a1-2=a-2
且 c(n)为公比为2的等比数列
所以 a(n+1)=(a-2)*2^n+2*3^n
且易得 b(n)=a(n+1)-2*3^n
所以： b(n)=(a-2)*2^n

由已知条件a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n得:
b(n)=a(n+1)-2·3^n
a(n+1)-a(n)=(Sn-S)+3^n-3^(n-1)
=an+(2/3)·3^n
则a(n+1)=2an+(2/3)·3^n.
=2[2a(n-1)+(2/3)·3^(n-1)]+(2/3)·3^n
=2×2·a(n-1)...

全部展开

由已知条件a(n+1)=Sn+3^n,b(n)=Sn-3^n得:
b(n)=a(n+1)-2·3^n
a(n+1)-a(n)=(Sn-S)+3^n-3^(n-1)
=an+(2/3)·3^n
则a(n+1)=2an+(2/3)·3^n.
=2[2a(n-1)+(2/3)·3^(n-1)]+(2/3)·3^n
=2×2·a(n-1)+(2/3)^2·3^n+(2/3)·3^n
=2^2·a(n-1)+[(2/3)^2+(2/3)]·3^n
=.....
=2^n·a1+[(2/3)^n+(2/3)^(n-1)+....+(2/3)^2+(2/3)]·3^n {注意[]中是等比数列的前n项和}
=2^n·a+{(2/3)·[1-(2/3)^n]/[1-(2/3)]}·3^n
=2^n·a+2·[1-(2/3)^n]·3^n
=2^n·a+2·(3^n-2^n)
=2·3^n+(a-2)·2^n
∴b(n)=a(n+1)-2·3^n
=(a-2)·2^n

收起

a(n+1)=S(n)+3^n,S(n+1)-S(n)=S(n)+3^n,S(n+1)=2S(n)+3^n,S(n+1)/2^(n+1)
=S(n)/2^n+3^n/2^(n+1),令c(n)=S(n)/2^n,则c(n+1)-c(n)=(1/2)(3/2)^n,
因为c(n)=[c(n)-c(n-1)}+[c(n-1)-c(n-2)]+[c(n-2)-c(n-3)]+...+[c...

全部展开

a(n+1)=S(n)+3^n,S(n+1)-S(n)=S(n)+3^n,S(n+1)=2S(n)+3^n,S(n+1)/2^(n+1)
=S(n)/2^n+3^n/2^(n+1),令c(n)=S(n)/2^n,则c(n+1)-c(n)=(1/2)(3/2)^n,
因为c(n)=[c(n)-c(n-1)}+[c(n-1)-c(n-2)]+[c(n-2)-c(n-3)]+...+[c(2)-c(1)]+c(1)=(1/2)[(3/2)^(n-1)+(3/2)^(n-2)+...+(3/2)]+S(1)=(1/2)*[3/2-(3/2)^(n-1)]/(1-3/2)+a/2=a/2-9/4+(3/2)^n,所以S(n)=(a/2-9/4)*2^n+3^n,b(n)=(a/2-9/4)*2^n 合肥六中cj

收起

S(n+1)-Sn=a(n+1)=Sn+3^n===>S(n+1)=2Sn+3^n===>S(n+1)-3^(n+1)=2[Sn-3^n]===>b(n+1)=2bn.当a1=a=3时，易知:b1=b2=b3=...=bn=0,此时通项为bn=0(n=1,2,3,...).当a1=a≠3时，易知，b1=a-3,b2=2(a-3),b3=4(a-3),...且b(n+1)/bn=2,此时通项为：bn=(a-3)*2^(n-1),(n=1,2,3,...).