作业帮高一数学 菜鸟勿进 要详解求bn以及an的前n项和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/04 17:42:21
高一数学 菜鸟勿进 要详解求bn以及an的前n项和
高一数学 菜鸟勿进 要详解
求bn以及an的前n项和
高一数学 菜鸟勿进 要详解求bn以及an的前n项和
(1)
a(n+1)=an(n+1)/n+(n+1)/2^n
=>
a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n
=>
b(n+1)=bn+1/2^n
b(n+1)-bn=1/2^n
=>
b2-b1=1/2
b3-b2=1/2^2
b4-b3=1/2^3
……
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
上式加得
bn-b1=1-(1/2)^(n-1)
a1=1 => b1=1
bn=2-(1/2)^(n-1)
(2)
an=nbn=2n-n/2^(n-1)
2n的好求
后面的n/2^(n-1)典型的错位相减法
b（n+1)-b(n)=1/2^n
然后列项相消可以求得b(n+1)=2-1/2^n
b(n)=2-1/2^(n-1)
a(n)=2n-n/2^(n-1)
求an的前n项和可以先求2n前n项和，然后求n/2^(n-1)的前n项和，再相减
对于n/2^(n-1)，可以先乘以2，再错位相减，就可以求出来了
Sn=n(1+n)-2+(n+2)/2^n
由a(n+1)=(1+1/n)a(n)+(n+1)/2^n，可得a(n+1)/(n+1)-a(n)/n=2^(-n)。
b(n)=a(n)/n，上式可化成，b(n+1)＝b(n)+2^(-n)，b(1)=1。
记c(n)=b(n)+2^(1-n)，即b(n)=c(n)-2^(1-n)，则上式可化为 c(n+1)=c(n)，c(1)=2。
由可得，对一切n恒有c(n)=...
全部展开
由a(n+1)=(1+1/n)a(n)+(n+1)/2^n，可得a(n+1)/(n+1)-a(n)/n=2^(-n)。
b(n)=a(n)/n，上式可化成，b(n+1)＝b(n)+2^(-n)，b(1)=1。
记c(n)=b(n)+2^(1-n)，即b(n)=c(n)-2^(1-n)，则上式可化为 c(n+1)=c(n)，c(1)=2。
由可得，对一切n恒有c(n)=2。所以b(n)=2-2^(1-n)。
a(n)=n*b(n)=2n-n*2^(1-n)。
S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+……+a(n)
=(2+4+6+8+10+……+2n)-(1+2/2+3/4+4/8+5/16+……+n/2^(n-1)]，
S(n)=2*S(n)-S(n)
=(2+4+6+8+10+……+2n)
-[2+(2-1)+(3-2)/2+(4-3)/4+(5-4)/8+……+(n-n+1)/2^(n-2)]
+n/2^(n-1)
=n(n+1)-2-[1+1/2+1/4+1/8+……+1/2^(n-2)]+n/2^(n-1)
=n(n+1)-2-[2-1/2^(n-2)]+n/2^(n-1)
=(n^2+n-4)+(n+2)/2^(n-1)。
收起
给你草稿 那张清楚看那张
