a,b,c>0;a+b+c=1,求证(a+1/a)^3+(a+1/b)^3+(c+1/c)^3≥1000/9

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/03 15:53:33
a,b,c>0;a+b+c=1,求证(a+1/a)^3+(a+1/b)^3+(c+1/c)^3≥1000/9
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a,b,c>0;a+b+c=1,求证(a+1/a)^3+(a+1/b)^3+(c+1/c)^3≥1000/9
a,b,c>0;a+b+c=1,求证(a+1/a)^3+(a+1/b)^3+(c+1/c)^3≥1000/9

a,b,c>0;a+b+c=1,求证(a+1/a)^3+(a+1/b)^3+(c+1/c)^3≥1000/9
用3次的幂平均不等式:x,y,z > 0,则(x³+y³+z³)/3 ≥ ((x+y+z)/3)³.
得到(a+1/a)³+(b+1/b)³+(c+1/c)³ ≥ (a+b+c+1/a+1/b+1/c)³/9 = (1+1/a+1/b+1/c)³/9.
再由1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 3+a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c ≥ 9,
代入即得(a+1/a)³+(b+1/b)³+(c+1/c)³ ≥ 1000/9.
3次的幂平均不等式可以这样证明:
(x+y+z)³ = x³+y³+z³+3x²y+3y²z+3z²x+3xy²+3yz²+3zx²+6xyz.
由3元的均值不等式有x³+y³+z³ ≥ 3xyz,2x³+y³ ≥ 3x²y等等,对各项分别放缩即得.
当然如果能用Jensen不等式,直接由(x+1/x)³的凸性证明原题是最方便的.

已知a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9 a>b>c,a+b+c=0,求证 ac a>b>c,a+b+c=0,求证c/(a-c)>c/(b-c)为什么a>b.>c,a+b+c=0,就能判断c 已知:abc=1,a>0,b>0,c>0,求证:(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c>=2(a+b+c) 已知a>0,b>0,c>0,求证：(1)(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc;(2)(a/b)+(b/c)(c/a)>=3 已知a+b+c=0求证:(a-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c+b/c-a)=9已知a+b+c=0求证:((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))=9 （a+b+c)(a-b-c）=0求证a=b=c 已知a>b>c,求证((a-b)/1)+((b-c)/1)+((c-a)/1)>0 已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 已知a>b>c,求证1/a-b+1/b-c+1/c-a>0 已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c).,..,. a>0,b>0,c>0,a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c 已知a,b,c>0,求证a平方/b+b平方/c+c平方/a>=a+b+c 求证：若a+b+c=1,则a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥6 已知a>b>c,a+b+c=0,求证：[c/(a-c)]＜[c/ (b-c)] 设a,b,c∈(0,1) 求证a+b HELP---数学题目已知非0实数a,b,c满足a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]sorry,要求的是[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9 关于不等式求证～a,b,c>0,求证a/根号b+b/根号c+c/根号a≥根号a+根号b+根号c1,a,b,c>0,求证a/根号b+b/根号c+c/根号a≥根号a+根号b+根号c2,f(x)=根号下(1+x^2) ,a不等于b,求证|f(a)-f(b)|