已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 (1)求f(x)的解析式(2)如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 17:59:47
![已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 (1)求f(x)的解析式(2)如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围.](/uploads/image/z/14410442-2-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87%E6%98%AF%281%2C2%29%2C%E4%B8%94f%280%29%3D1+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Df%28x%29%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E6%81%92%E5%9C%A8y%3D-x%2Bm%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E4%B8%8B%E6%96%B9%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 (1)求f(x)的解析式(2)如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围.
已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 (1)求f(x)的解析式
(2)如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围.
已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 (1)求f(x)的解析式(2)如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围.
(1)设y=a(x-1)^2+2
代入f(0)=1得a=-1
则y=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1
(2)
-x^2+2x+1<-x+m对任意x都成立即
m>-x^2+3x+1又-x^2+3x+1的最大值在顶点处取得即为13/4
即m>13/4
(1).
∵f(x)的顶点坐标是(1,2),设f(x)=a(x-1)²+2
将f(0)=1代入,可得1=a+2,∴a=-1
∴f(x)=-(x-1)²+2,即f(x)=-x²+2x+1
(2).
联立方程组y=-x²+2x+1……①和y=-x+m……②
将②代入①,可得-x+m=-x²+2x+1,整理...
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(1).
∵f(x)的顶点坐标是(1,2),设f(x)=a(x-1)²+2
将f(0)=1代入,可得1=a+2,∴a=-1
∴f(x)=-(x-1)²+2,即f(x)=-x²+2x+1
(2).
联立方程组y=-x²+2x+1……①和y=-x+m……②
将②代入①,可得-x+m=-x²+2x+1,整理得:x²-3x+m-1=0
∵y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方,∴y=f(x)图象与y=-x+m无公共点
∴Δ<0
即9-4(m-1)<0,解得m>13/4
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(1)设该二次函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),
化简为顶点式为y=a(x+b/2a)²+c-b²/4(a≠0),即顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a),
根据题意可得:
-b/2a=1……①
c-b²/4a=2……②
1=0+0+c……③
结合①②③ 式解得a=-1,b=2,...
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(1)设该二次函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),
化简为顶点式为y=a(x+b/2a)²+c-b²/4(a≠0),即顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a),
根据题意可得:
-b/2a=1……①
c-b²/4a=2……②
1=0+0+c……③
结合①②③ 式解得a=-1,b=2,c=1;
则此二次函数为f(x)=-x²+2x+1
(2)要使得此二次函数图像恒在一次函数y=-x+m图像的下方,
则两图像只能至多有一个切点(包含没有交点的情况)。
当两图像相切时,二次函数的导函数f '(x)=-2x+2=-1(此为直线y=-x+m的斜率-1)
则切点横坐标为3/2,代入二次函数得出切点纵坐标为7/4,即切点坐标为(3/2,7/4)
将切点坐标代入直线关系式可知:m=13/4;
当两图像相离(没有交点)时,m>13/4;
综上所述,若二次函数图像恒在直线y=-x+m图像的下方,
则实数m的取值范围是m≥13/4.
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