作业帮如何证明无穷维欧式空间正交变换不一定是满射?举个反例谢了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/06 13:00:33
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如何证明无穷维欧式空间正交变换不一定是满射?举个反例谢了
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考虑由实数列组成的集合V = {(a[1],a[2],a[3],...) | a[k] ∈ R,∑a[k]² < +∞}.
易验证其为R上的线性空间.
并可定义内积(a[1],a[2],a[3],...)·(b[1],b[2],b[3],...) = ∑a[k]b[k] (可证收敛).
V是R上的欧式空间.
考虑V上的右平移变换A:A(a[1],a[2],a[3],...) = (0,a[1],a[2],a[3],...).
易验证其为线性变换,并保持内积((Ax)·(Ay) = x·y),即为正交变换.
但A的像集中的元素的第一个分量总是0,因此A不为满射.