证不等式 只需证第三题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 08:04:07
证不等式 只需证第三题
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证不等式 只需证第三题
证不等式 只需证第三题

证不等式 只需证第三题
考虑证明ln(n+1)-lnn<(n+1)/n^2
即ln(1+1/n)<1/n+1/n^2
所以证明ln(1+x)0)
即x^2+x-ln(x+1)>0
令g(x)=x^2+x-ln(x+1)
所以g'(x)=2x+1-1/(x+1)=(2x^2+3x)/(x+1)>0
g(0)=0
所以g(x)>0
所以ln(n+1)-lnn<(n+1)/n^2
所以2+3/2^2+...+(n+1)/n^2>ln(n+1)-ln1=ln(n+1)

2/1+3/2^2+4/3^2+……+n+1/n^2>ln(n+1)
证明：
先证明不等式：当x＞0时ln(x+1)＜x
令f(x)=x-ln(x+1)，则
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)＞0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
于是f(x)＞f(0)=0，即
当x＞0时ln(x+1)＜x
在不等式中取x为1/...

全部展开

2/1+3/2^2+4/3^2+……+n+1/n^2>ln(n+1)
证明：
先证明不等式：当x＞0时ln(x+1)＜x
令f(x)=x-ln(x+1)，则
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)＞0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
于是f(x)＞f(0)=0，即
当x＞0时ln(x+1)＜x
在不等式中取x为1/n，有当1/n＞0时ln(1/n+1)＜1/n，即
n＞0时1/n＞ln(n+1)-lnn
所以2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2＞1/1^2+2/2^2+...+n/n^2=1+1/2+...+1/n＞ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1)
原不等式得证

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