求这个曲线积分题的详细解答

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/21 11:32:35
求这个曲线积分题的详细解答
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求这个曲线积分题的详细解答
求这个曲线积分题的详细解答
 

求这个曲线积分题的详细解答
设P=xr^k/y,Q=-x^2r^k/y^2
求偏导数
Q'x=(-1/y^2)(2xr^k+x^2 *kr^(k-1) *x/r)=(-xr^(k-2)/y^2)(2r^2+kx^2)
P'y= -xr^k/y^2+(x/y) *kr^(k-1) *(y/r)=(-xr^(k-2)/y^2)(r^2-ky^2)
根据格林公式,与积分路径无关,满足Q'x=P'y]
即(-xr^(k-2)/y^2)(2r^2+kx^2)=(-xr^(k-2)/y^2)(r^2-ky^2)
2r^2+kx^2=r^2-ky^2
所以r^2+k(x^2+y^2)=0
即(k+1)(x^2+y^2)=0
所以k= -1
下面求积分值.
以为积分与路径无关,可以选择折线(1,2)->(2,2)->(2,3)
在(1,2)->(2,2)上,y=2,dy=0
在(2,2)->(2,3)上,x=2,dx=0
原积分=∫(1->2) x/[2√(4+x^2)] dx+∫(2->3) 4/[y^2√(4+y^2)] dy
=√2-(√5/2)+2√17-(4√37/3)
注：
求∫(1->2) x/[2√(4+x^2)] dx
=∫(1->2) x/[2√(4+x^2)] dx=∫(1->2) d(x^2)/[4√(4+x^2)]=(1/2)√(4+x^2) |(1->2)=√2-(√5/2)
求∫(2->3) 4/[y^2√(4+y^2)] dy的是时候,用换元法,令y=1/t

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