什么是马尔可夫随机场

什么是马尔可夫随机场
什么是马尔可夫随机场

什么是马尔可夫随机场
马尔可夫链
开放分类：概率论、随机过程
马尔可夫链,因安德烈•马尔可夫（A.A.Markov,1856－1922）得名,是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程.在给定当前知识或信息的情况下,过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的.
马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列.这些变量的范围,即他们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而X_n的值则是在时间n的状态.如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数,则
P(X_{n+1}=x|X_0,X_1,X_2,\ldots,X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n).
这里x为过程中的某个状态.上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质.
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程 .而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的.
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的,但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机,名义上是对于纵属事件大数法则的扩张.
它们是后面进行推导必不可少的条件:(1)尺度间具有马尔可夫性质.随机场从上到下形成了马尔可夫链,即 Xi 的分布只依赖于 Xi,与其他更粗 糙的尺度无关,这是因为 Xi 已经包含了所有位于其上层的尺度所含有的信息.(2) 随机场像素的条件独立性.若 Xi 中像素的父节点已知,则 Xi 中的像素彼此独立.这一性质使我们不必再 考虑平面网格中相邻像素间的关系,而转为研究尺度间相邻像素(即父子节点)间的关系.(3) 设在给定 Xn 的情况下,Y 中的像素彼此独立.(4) 可分离性.若给定任一节点 xs,则以其各子节点为根的子树所对应的变量相互独立.
从只有一个节点的根到和图像大小一致的叶子节点,建立了完整的四叉树模型,各层间的马尔可夫链的因 果关系使我们可以由非迭代的推导过程快速计算出 X 的最大后验概率或后验边缘概率.
完整的四叉树模型也存在一些问题.(1) 因概率值过小,计算机的精度难以保障而出现下溢,若层次多,这一 问题更为突出.虽然可以通过取对数的方法将接近于 0 的小值转换成大的负值,但若层次过多、概率值过小,该 方法也难以奏效,且为了这些转换所采用的技巧又增加了不少计算量.(2) 当图像较大而导致层次较多时,逐层 的计 算甚 为繁琐 下 溢 现 象肯定 会出 现 ,存储中 间变 量也 会占 用大 量空 间 ,在时 间空间 上都 有更 多的 开销 .
(3) 分层模型存在块效应,即区域边界可能出现跳跃,因为在该模型中,同一层随机场中相邻的像素不一定有同 一个父节点,同一层的相邻像素间又没有交互,从而可能出现边界不连续的现象.
为了解决这些问题,我们提出一种新的分层 MRF 模型——半树模型,其结构和图1 5类似,仍然是四叉树,
只 是层数比完整的四叉树大大减少,相当于将完整的四叉树截为两部分,只取下面的这部分.模型最下层仍和图像 大小一致,但最上层则不止一个节点.完整的四叉树模型所具有的性质完全适用于半树模型,不同点仅在于最上层,完整的树模型从上到下构成 了完整的因果依赖性,而半树模型的层间因果关系被截断,该层节点的父节点及祖先均被删去,因此该层中的各 节点不具有条件独立性,即不满足上述的性质 2,因而对这一层转为考虑层内相邻节点间的关系.半树模型和完 整的树模型相比,层次减少了许多,这样,层次间的信息传递快了,概率值也不会因为过多层次的逐层计算而小 到出现下溢.但第 0 层带来了新的问题,我们必须得考虑节点间的交互,才能得出正确的推导结果,也正是因为在 第 0 层考虑了相邻节点间的影响,使得该模型的块现象要好于完整的树模型.对于层次数的选取,我们认为不宜多,太多则达不到简化模型的目的,其优势体现不出来,但也不能太少,因 为第 0 层的概率计算仍然要采用非迭代的算法,层数少表明第 0 层的节点数仍较多,计算费时,所以在实验中将 层数取为完整层次数的一半或一半稍少.
3半树模型的 MPM 算法
图像分割即已知观测图像 y,估计 X 的配置,采用贝叶斯估计器,可由一个优化问题来表示:
x = arg min [E C ( x,x )′ | Y = y] ,x其中代价函数 C 给出了真实配置为 x 而实际分割结果为 x′时的代价.在已知 y 的情况下,最小化这一代价的期 望,从而得到最佳的分割.代价函数取法不同得到了不同的估计器,若 C(x,x′)=1?δ(x,x′)(当 x=x′时δ(x,x′)=1,否则 δ(x,x′)=0)得到的是 MAP 估计器,它意味着 x 和 x′只要在一个像素处有不同,则代价为 1,对误分类的惩罚比较重,汪西莉 等:一种分层马尔可夫图像模型及其推导算法
而在实际中存在一些误分类是完全允许的.若将半树模型的 MPM 算法记为 HT-MPM,它分为向上算法和向下算法两步,向上算法自下而上根据式(2)、 式 (3)逐层计 算P(yd(s)|xs)和 P(xs,xρ(s)|yd(s)),对最下层 P(yd(s)|xs)=P(ys|xs).向下算法自上 而下根据 式 (1)逐层计算 P(xs|y),对最上层由 P(x0|y)采样 x0(1),…,x0(n),

马尔可夫随机场（Markov Random Field）包含两层意思。一是什么是马尔可夫，二是什么是随机场。
马尔可夫一般是马尔可夫性质的简称。它指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没...

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马尔可夫随机场（Markov Random Field）包含两层意思。一是什么是马尔可夫，二是什么是随机场。
马尔可夫一般是马尔可夫性质的简称。它指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。
随机场包含两个要素：位置（site），相空间（phase space）。当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。我们不妨拿种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。
好了，明白了上面两点，就可以讲马尔可夫随机场了。还是拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。

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