当n为奇数时,{[(1+i)/(1-i)]^(2n)}+{[(1-i)/(1+i)]^(2n)}的值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/05 19:31:06
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因为:(1+i)^2=2i
(1-i)^2=-2i
所以原式可化为:
(2i)^n+(-2i)^n
=2^n*i^n+(-2)^n*i^n
当:n=4k (k为整数)时
原式=2^(4k)*(i^4)^k+(-2)^(4k)*(i^4)^k
=2^(4k+1) 因为(i^4=1)
当:n=4k+1 (k为整数)时
原式=2^(4k+1)*(i^4)^k*i+(-2)^(4k+1)*(i^4)^k*i
=2^(4k+1)*i-2^(4k+1)*i=0
当:n=4k+2 (k为整数)时
原式=2^(4k+2)*(i^4)^k*i^2+(-2)^(4k+2)*(i^4)^k*i^2
=-2^(4k+2)-2^(4k+2)
=-2^(4k+3)
当:n=4k+3 (k为整数)时
原式=2^(4k+3)*(i^4)^k*i^3+(-2)^(4k+3)*(i^4)^k*i^3
=2^(4k+3)*(-i)-2^(4k+3)*(-i)
=0
综上,当n为奇数时,原式=0
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