已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.用不等式的知识解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 08:18:01

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已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.用不等式的知识解
已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.
用不等式的知识解

已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.用不等式的知识解
此题有难度,楼上的结果完全不对.
题目给了两个约束条件,利用a=b=c则abc达到最大值的条件无法成立.我认为直接用不等式的知识很难解答.
a+b=12-c,[1]
ab+c(a+b)=ab+c(12-c)=45,ab=c^2-12c+45,[2]
可以将a,b看成是方程：x^2 + (c-12)x + (c^2-12c+45) = 0 的两个正解.
则：(c-12)^2-4(c^2-12c+45)= -3 (c^2-8c+12) ≥0,
解得：2≤c≤6；同样2≤a≤6,2≤b≤6
等式[2]两边乘c,得：abc=f(c)= c^3-12c^2+45c,[3]
现在求f(c)的最大值.f'(c)= 3c^2-24c+45=3(c-3)(c-5) ,[4]
令f'(c)= 0,得到 c=3 或c＝5
当2≤c

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=12^2
a^2+b^2+c^2=144-90=54
3abc≤a^2+b^2+c^2
abc≤18
abc最大值为18