已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根求证:这两个方程的另两个根(公共根除外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 15:15:11
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已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根
求证:这两个方程的另两个根(公共根除外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根
已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根求证:这两个方程的另两个根(公共根除外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根
证明,假设这个公共根是x,
则有x^2 + a1x + a2a3 = 0且x^2 + a2x + a1a3 = 0
两边做差得
(a1-a2)x + a3(a2-a1) = 0
即(a1-a2)(x-a3) = 0
所以a1=a2或者x=a3
当a1=a2时,有公共根的两个方程实际上变成了一个方程,也就不会还有“另两个根”.
所以是x=a3.
根据维达定理,对于x^2+a1x+a2a3来说,两个根满足:
x1+x2=-a1
x1*x2 = a2a3
同理
对于x^2+a2x+a1a3=0的两个根满足
x3+x4=-a2
x3*x4=a1a3
现在他们具有公共根x1=x4=a3
所以x2 = -a1-a3 = a2
x3 = -a2-a3 = a1
因为x2+x3 = a1+a2 = -a3
x2*x3=a1a2
再次应用维达定理,
这两个根是
方程x2+a3x+a1a2=0的根
已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根求证:这两个方程的另两个根(公共根除外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根
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