求极限x趋向0,（x-sinx)/[√(1+x^3))-1]中怎么去掉根号和详细步骤极限lim x趋向0 ln(1+x)*sin(1/x)= 这个不怎明白，

求极限x趋向0,（x-sinx)/[√(1+x^3))-1]中怎么去掉根号和详细步骤极限lim x趋向0 ln(1+x)*sin(1/x)= 这个不怎明白，
求极限x趋向0,（x-sinx)/[√(1+x^3))-1]中怎么去掉根号和详细步骤




极限lim x趋向0  ln(1+x)*sin(1/x)=    
这个不怎明白，

求极限x趋向0,（x-sinx)/[√(1+x^3))-1]中怎么去掉根号和详细步骤极限lim x趋向0 ln(1+x)*sin(1/x)= 这个不怎明白，
1.这里用极限的乘法法则就行了.以下极限都是对x → 0:
易证lim√(1+x³) = 1,
故lim(1-cos(x))/(3x²/(2√(1+x³)))
= 2/3·lim(1-cos(x))/x²·lim√(1+x³)
= 2/3·lim(1-cos(x))/x²,
后面过程略.
另外,如果学过Taylor展开,这道题也可以使用以下两个常见Taylor展开:
sin(x) = x-x³/6+o(x³),√(1+y) = 1+y/2+o(y).
后者换元y = x³得到√(1+x³) = 1+x³/2+o(x³).
因此x-sin(x)与x³/6是等价无穷小,而√(1+x³)-1与x³/2是等价无穷小.
使用等价无穷小代换(本质上仍是极限乘法法则),即得:
lim(x-sin(x))/√(1+x³) = lim(x³/6)/(x³/2) = 1/3.
2.用的是乘积求导法则,以及变限积分求导.
为了看得清楚,设F(x) = ∫{1,x}f(t)dt,则Φ(x) = x·F(x).
Φ'(x) = (x·F(x))' = F(x)+x·F'(x).
由f(x)连续,有F'(x) = (∫{1,x}f(t)dt)' = f(x).
代回即得Φ'(x) = F(x)+x·f(x) = ∫{1,x}f(t)dt+x·f(x).

（1）∵lim(x->0)[(x-sinx)/x^3]
=lim(x->0)[(1-cosx)/(3x^2)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0)[sinx/(6x)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
...

全部展开

（1）∵lim(x->0)[(x-sinx)/x^3]
=lim(x->0)[(1-cosx)/(3x^2)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0)[sinx/(6x)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=(1/6)lim(x->0)[sinx/x]
=(1/6)*1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
=1/6
lim(x->0)[x^3/(√(1+x^3)-1)]
=lim(x->0)[x^3(√(1+x^3)+1)/((1+x^3)-1)] (分子分母同乘(√(1+x^3)+1))
=lim(x->0)[x^3(√(1+x^3)+1)/x^3]
=lim(x->0)[√(1+x^3)+1]
=√(1+0^3)+1
=2
∴lim(x->0){(x-sinx)/[√(1+x^3)-1]}
=lim(x->0){[(x-sinx)/x^3]*[x^3/(√(1+x^3)-1)]}
={lim(x->0)[(x-sinx)/x^3]}*{lim(x->0)[x^3/(√(1+x^3)-1)]}
=(1/6)*2
=1/3；
（2）Φ'(x)=[x∫<1,x>f(t)dt]'
=(x)'∫<1,x>f(t)dt+x[∫<1,x>f(t)dt]'
=∫<1,x>f(t)dt+x(x)'f(x) (应用含参变量定积分求导数公式)
=∫<1,x>f(t)dt+xf(x)。

收起