作业帮在锐角△ABC中,角A/B/C的对边分别为a、b、c,已知(b²+c²-a²)tanA=√3bc（1）求角A （2）若a=2,求△ABC面积s的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 11:31:16
在锐角△ABC中,角A/B/C的对边分别为a、b、c,已知(b²+c²-a²)tanA=√3bc（1）求角A （2）若a=2,求△ABC面积s的最大值
在锐角△ABC中,角A/B/C的对边分别为a、b、c,已知(b²+c²-a²)tanA=√3bc
（1）求角A （2）若a=2,求△ABC面积s的最大值
在锐角△ABC中,角A/B/C的对边分别为a、b、c,已知(b²+c²-a²)tanA=√3bc（1）求角A （2）若a=2,求△ABC面积s的最大值
1.
(b²+c²-a²)tanA=√3bc
(b²+c²-a²)/(2bc)=(√3/2)/tanA=(√3/2)cosA/sinA
由余弦定理得
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
cosA=(√3/2)cosA/sinA
cosA[1-(√3/2)/sinA]=0
A为三角形内角,cosA≠0
1-(√3/2)/sinA=0
sinA=√3/2
三角形为锐角三角形,A=π/3
2.
S△ABC=(1/2)bcsinA
由均值不等式得,当b=c时,bc取得最大值,此时B=C,又A=π/3
B=C=(π- π/3)/2=π/3=A
b=c=a=2
此时三角形面积有最大值(S△ABC)max=(1/2)×2×2×(√3/2)=√3
（1）
(b²+c²-a²)tanA=√3bc
变形得：
[(b²+c²-a²)/(2bc)]tanA=√3/2
由斜弦定理得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc) （*）
所以
cosAtanA=√3/2
所以sinA=√3/2
全部展开
（1）
(b²+c²-a²)tanA=√3bc
变形得：
[(b²+c²-a²)/(2bc)]tanA=√3/2
由斜弦定理得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc) （*）
所以
cosAtanA=√3/2
所以sinA=√3/2
A是锐角，
所以A=60度
（2）
把A=60度，a=2代入（*）式得：
1/2=(b²+c²-4)/(2bc)
所以b²+c²-4=bc>=2bc-4
所以bc<=4
当b=c时取等号
S=bcsinA/2=√3bc/4<=√3
所以△ABC面积s的最大值为√3
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