数学归纳法,证明n^3+5n可被6整除.我怎么都抽不了6出来.to1楼我老爸也是这样教的一定要这样做?不能直接把6从整条式子里抽出来证明?我才刚学1个星期,不知道还有这种证明方式。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 20:28:39
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数学归纳法,证明n^3+5n可被6整除.我怎么都抽不了6出来.to1楼我老爸也是这样教的一定要这样做?不能直接把6从整条式子里抽出来证明?我才刚学1个星期,不知道还有这种证明方式。
数学归纳法,证明n^3+5n可被6整除.
我怎么都抽不了6出来.
to1楼
我老爸也是这样教的
一定要这样做?
不能直接把6从整条式子里抽出来证明?
我才刚学1个星期,不知道还有这种证明方式。
数学归纳法,证明n^3+5n可被6整除.我怎么都抽不了6出来.to1楼我老爸也是这样教的一定要这样做?不能直接把6从整条式子里抽出来证明?我才刚学1个星期,不知道还有这种证明方式。
证明:
(1)当n=1时n^3+5n=6能被6整除
(2)设n=k时k^3+5k能被6整除,则当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6
因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除
现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可
因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除
所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除
由1、2可得N的3次方加5N能被6整除
n^3+5n
当n=1时
n^3+5n=6,能被6整除
设n=k时
k^3+5k能被6整除,设
k^3+5k=6m
则n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+5k+3k(k+1)+6
=6(m+1)+3k(k+1)
因为k,k+1是两个连续整数,因此必有一个是偶数,所有k(k+1)整除2,
设k(...
全部展开
n^3+5n
当n=1时
n^3+5n=6,能被6整除
设n=k时
k^3+5k能被6整除,设
k^3+5k=6m
则n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+5k+3k(k+1)+6
=6(m+1)+3k(k+1)
因为k,k+1是两个连续整数,因此必有一个是偶数,所有k(k+1)整除2,
设k(k+1)=2N,则3k(k+1)=6N (N是整数)
因此(k+1)^3+5(k+1)=6(m+1)+6n=6(m+N+1)整除6,因此n=k+1时成立
原题得证
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n=1时n^3+5n=6可以被6整除
假设n=k时k^3+5k可以被6整除
则n=k+1时 (k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5
=(k^3+5k)+3k(k+1)+6
由于k是整数,k(k+1)可以被2整出
所以3k(k+1)可以被6整出
所以等式右端=(k^3+5k)+3k(k+1)+6可以被6整出
即有(k...
全部展开
n=1时n^3+5n=6可以被6整除
假设n=k时k^3+5k可以被6整除
则n=k+1时 (k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5
=(k^3+5k)+3k(k+1)+6
由于k是整数,k(k+1)可以被2整出
所以3k(k+1)可以被6整出
所以等式右端=(k^3+5k)+3k(k+1)+6可以被6整出
即有(k+1)^3+5(k+1)可以被6整出
有归纳法得
n^3+5n可被6整除
收起