已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 15:11:45
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
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已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)

已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2An+2=2(An+1)
A1+1=1+1=2
数列{An+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
An+1=2^n
An=2^n-1
n=1时,A1=1也满足上式
An/A(n+1)=(2^n-1)/(2^(n+1)-1)
分式上下同除(2^n-1)
An/A(n+1)=1/(2+1/(2^n-1))
n>=1时,2^n-1>0,1/(2+1/(2^n-1))<1/2
An/A(n+1)<1/2
A1/A2<1/2
A2/A3<1/2
……
A1/A2+A2/A3+……An/A(n+1)<1/2×n

·an an an+1/2-1/2 1 1 1
——— =——-=——————=—— - ———— < ——
a(n+1) 2an+1 2(an+1/2) 2 4an+2 2
∴a1/a2<1/2
a2/a3<1/2
……
an/a(n+1)<1/2
∴a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)

a(n+1)=2an+1
所以a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/〔a(n+1)+1〕=1/2
且an/a(n+1)<(an+1)/〔a(n+1)+1〕
所以a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
<(a1+1)/(a2+1)+(a2+1)/(a3+1)+……<(an+1)/〔a(n+1)+1〕
=n/2

证明:a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),a2=3,a3=7,a4=15,...
a(n+1)=2an+1>2an an/a(n+1)<1/2
a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<1/2+1/2+1/2+....+1/2=(1+1+1+...+1)/2
=n/2
所以a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)