作业帮圆x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的焦点分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程对了后再加30分 要求设D(-2cosa,-2sina)来
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 13:19:18
圆x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的焦点分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程对了后再加30分 要求设D(-2cosa,-2sina)来
圆x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的焦点分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程
对了后再加30分 要求设D(-2cosa,-2sina)来解 全题都用三角函数
圆x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的焦点分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程对了后再加30分 要求设D(-2cosa,-2sina)来
D(-2cosa,-2sina),则C(-2cosa,2sina),设点C在上方,A(0,-2),B(0,2)
则cosa>0,sina>0,所以可令a属于【0,π/2】
则CD=4sina,AB=4,AD=BC=√[4(cosa)^2+(2sina-2)^2]=√(8-8sina)=2(√2)*√(1-sina)
注意到1-sina可以用倍角公式,1-sina=[sin(a/2)]^2-2sin(a/2)*cos(a/2)+[cos(a/2)]^2
=[cos(a/2)-sin(a/2)]^2
因为a属于【0,π/2】,所以a/2属于【0,π/4】,此时cos(a/2)≧sin(a/2)
所以AD=BC=2(√2)*√(1-sina)=2(√2)*[cos(a/2)-sin(a/2)]
再结合辅助角公式cos(a/2)-sin(a/2)=(√2)*cos(a/2+π/4)
所以AD=BC=2(√2)*[cos(a/2)-sin(a/2)]=4cos(a/2+π/4)
所以周长=AB+CD+2BC=4+4sina+8cos(a/2+π/4)
由诱导公式,sina=-cos(a+π/2)
再结合倍角公式：cos(a+π/2)=2[cos(a/2+π/4)]^2-1
所以周长=4-4{2[cos(a/2+π/4)]^2-1}+8cos(a/2+π/4)
=-8[cos(a/2+π/4)]^2+8cos(a/2+π/4)+8
把周长看做关于cos(a/2+π/4)的二次函数,开口向下,对称轴为1/2,
因为a/2属于【0,π/4】,所以a/2+π/4属于【π/4,π/2】,推出cos(a/2+π/4)属于【0,√2/2】
即该二次函数的定义域为【0,√2/2】,
对称轴1/2落在定义域区间内,所以在对称轴处取得最大值,
即cos(a/2+π/4)=1/2,可得a=π/6,
所以点D(-√3,-1),
要求双曲线方程,已有了c=2,只要求出a（这个a是双曲线中的参数,不是上面的角度）就行,
计算最少的方法是：根据第一定义：DA=2,DB=2√3,DB-DA=2√3-2=2a
所以a=√3-1,a^2=4-2√3,则b^2=c^-a^2=2√3
所以所求双曲线的方程为：y^2/(4-2√3)-x^2/2√3=1
总算写完了.
如果不懂,请Hi我,