已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对(p,q).注:x^2表示x的平方.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:21:21
![已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对(p,q).注:x^2表示x的平方.](/uploads/image/z/1719497-65-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5p%E3%80%81q%E9%83%BD%E6%98%AF%E8%B4%A8%E6%95%B0%2C%E4%B8%94%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E2-%288p-10q%29x%2B5pq%3D0%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E6%A0%B9%2C%E6%B1%82%E6%89%80%E6%9C%89%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%AF%B9%EF%BC%88p%2Cq%29.%E6%B3%A8%EF%BC%9Ax%5E2%E8%A1%A8%E7%A4%BAx%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9.)
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对(p,q).注:x^2表示x的平方.
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对(p,q).
注:x^2表示x的平方.
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对(p,q).注:x^2表示x的平方.
令方程的两根分别为A、B,且A为正整数.
由韦达定理,有:A+B=8p-10q、且AB=5pq.
∵A是正整数,p、q都是质数,
∴A只能在下面的数中选取:1、5、p、q、5p、5q、pq、5pq.
一、当A=1时,B=5pq,∴1+5pq=8p-10q,∴5q(p+2)-8(p+2)=-17,
∴(p+2)(8-5q)=17.
∵p+2>2,∴p+2=17,得:p=15=3×5,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
二、当A=5时,B=pq,∴5+pq=8p-10q,∴p(q-8)+10(q-8)=-85,
∴(8-q)(p+10)=85=5×17.
∵p+10>10,∴p+10=17,或p+10=85.
①由p+10=17,得:p=7,此时8-q=5,得:q=3.
②由p+10=85,得:p=75=5×15,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
三、当A=p时,B=5q,∴p+5q=8p-10q,∴15q=7p.
∵q的质数,∴q=7,从而有p=15=3×5.与q为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
四、当A=q时,B=5p,∴q+5p=8p-10q,∴11q=3p.
∴p=11、q=3.
五、当A=5p时,B=q,∴5p+q=8p-10q,∴11q=3p.
∴p=11、q=3.
六、当A=5q时,B=p,∴5q+p=8p-10q,∴15q=7p.
∵q的质数,∴q=7,从而有p=15=3×5.与q为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
七、当A=pq时,B=5,∴pq+5=8p-10q,∴p(q-8)+10(q-8)=-85,
∴(8-q)(p+10)=85=5×17.
∵p+10>10,∴p+10=17,或p+10=85.
①由p+10=17,得:p=7,此时8-q=5,得:q=3.
②由p+10=85,得:p=75=5×15,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
八、当A=5pq时,B=1,∴5pq+1=8p-10q,∴5q(p+2)-8(p+2)=-17,
∴(p+2)(8-5q)=17.
∵p+2>2,∴p+2=17,得:p=15=3×5,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
综上各述,得:满足条件的实数对(p,q)有两组,分别是(7,3)、(11,3).