在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.求证:(1)EC平行于平面APD(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 03:51:09
![在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.求证:(1)EC平行于平面APD(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值](/uploads/image/z/1818492-60-2.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD.%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BCD%3D90%C2%B0%2CPA%3DPD%3DDC%3DCB%3D1%2F2AB%2CE%E6%98%AFPB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89EC%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2APD%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82BP%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC)
在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.求证:(1)EC平行于平面APD(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值
在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.
求证:(1)EC平行于平面APD
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值
在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.求证:(1)EC平行于平面APD(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值
证明:(1)
取AB中点M,连接CM、EM
在△BPA中,ME是中位线,∴ME∥PA
在四边形ABCD中,
∵∠ABC=∠BCD=90°,DC=1/2AB=AM
∴四边形ADCM是平行四边形 (BC与AM平行且相等)
则MC∥AD
∴面CEM∥面APD (一对相交线平行)
则 CE∥面APD
(2)
取AD的中点N,连接PN、BN
∵PA=PD
∴PN⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD
∴PN⊥平面ABCD
则 PN⊥BN ∠PBN即为BP与面ABCD所成角.
连接DM、BD
∵DC∥MB,BC=DC=AB/2=MB,∠ABC=∠BCD=90°
∴ 四边形BCDM是正方形
设AB=2a
则 AM=MB=BC=EC=DM=PA=PB=a
AD=MC=DB=√2a
DN=AD/2=√2/2 a
PN²=PD²-DN²=a²-1/2a²=1/2a²,PN=√2/2a
∵ DM⊥AB,MD=MB=MA
∴ ∠MDA=∠MDB=45° ,即 ∠BDA=90°
BN²=BD²+DN²=2a²+1/2 a²=5/2a² BN=√10/2a
tan∠PBN=PN/BN= √2/2a / √10/2a =√5/5