如何证明:分母大于2的最简真分数一定有偶数个?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 14:27:01
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如何证明:分母大于2的最简真分数一定有偶数个?
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设这个分数分母为n(n>=3且为整数)分子为m(m为正整数)
由“真分数”知m=2且为整数),有j=k*j1,n=k*n1.(j1,n1均为正整数)
n-j=k*(n1-j1)为k的倍数,即k为n-j与n的公因数,得证.
(一)n为奇数,则1~n-1这n-1个正整数可以首尾配对成(n-1)/2组,每组中两数之和为n.
由上述结论知此两数同时与n互素(可做m的取值)或同时与n不互素(不可做m的取值).
m的取值有偶数个,命题得证.
(二)n为偶数,则1~n-1这n-1个正整数除n/2外可以首尾配对成(n-2)/2组,每组中两数之和为n.
由上述结论知此两数同时与n互素(可做m的取值)或同时与n不互素(不可做m的取值).
而n/2(>=2)与n的最大公因数为n/2,必不互素.m的取值有偶数个,命题得证.
当考虑负分数时,每个负分数必可以与其相反数对应,命题仍然正确.
综上所述,
分母大于2的最简真分数一定有偶数个
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