求因式分解的所有方法及公式

求因式分解的所有方法及公式
求因式分解的所有方法及公式

求因式分解的所有方法及公式
因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法.而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等.
注意四原则：
1．分解要彻底（是否有公因式,是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正,如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)
归纳方法：
1．提公因式法.
2．运用公式法.
3．拼凑法.
拼凑法实例
提取公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式.
具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
口诀：找准公因式,一次要提尽,全家都搬走,留1把家守,提负要变号,变形看奇偶.
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y).
注意：把
变成
不叫提公因式
公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法.
平方差公式：
反过来为
完全平方公式：
反过来为
反过来为
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
两根式：
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3
公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2
1．分解因式技巧掌握：
①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式.
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示.
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数.
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.
2．提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式
（2）提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同
解方程法
通过解方程来进行因式分解,如：
X2+2X+1=0 ,解,得X1=-1,X2=-1,就得到原式=（X+1）×（X+1）
3竞赛方法编辑
分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,下面是这个方法的详细讲解.
能分组分解的多项式有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.
同样,这道题也可以这样做.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.
2． x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.
十字相乘法
十字相乘法在解题时是一个很好用的方法,也很简单.
这种方法有两种情况.
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
例1：x2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab,n=cd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
例2：分解7x2-19x-6
图示如下：a=1 b=7 c=2 d=-3
因为　-3×7=-21,1×2=2,且-21+2=-19,
所以,原式=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：分二次项,分常数项,交叉相乘求和得一次项.
例3：6X2+7X+2
第1项二次项（6X2）拆分为：2×3
第3项常数项（2）拆分为：1×2
2（X）　3（X）
1　2
对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）
纵向相乘,横向相加.
与之对应的还有双十字相乘法,也可以学一学.
拆添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)．
因式定理
对于多项式f(x),如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.(事实上,x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数
换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时,可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．
综合除法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……,xn,则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时,令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.
主元法
例如在分解x3+2x2-5x-6时,可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例如在分解x3+9x2+23x+15时,令x=2,则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
相关公式
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4．
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
也可以参看右图.
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用.
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.
图如下,把所有的数字交叉相连即可
x 　2y 　2
x 　3y　 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错.
④纵向相乘,横向相加.
二次多项式
（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a≠0)
.
当△=b2-4ac≥0时,设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).
4分解步骤编辑
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要相对合适.”
5例题编辑
1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．
原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何整数x,y,下式的值都不会为33：
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．
原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
当y=0时,原式=x5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.
3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.
证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a+2b+c>0．
∴a－c=0,
即a=c,△ABC为等腰三角形.
4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式.
-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．
6四个注意编辑
因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下：首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”.现举下例,可供参考.
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式.
-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”.如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误.
这里的“公”指“公因式”.如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式；这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1.
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分解到底,不能半途而废的意思.其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解.防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误,因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3).
考试时应注意：
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的.
7应用编辑
1． 应用于多项式除法.
：a(b−1)(ab+2b+a)
　　说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．
2． 应用于高次方程的求根.
3． 应用于分式的通分与约分
顺带一提,梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1,p=4r+3,如果8r+7也是素数,则：(8r+7)|(2P-1).即（2p+1）|（2P-1）
例如：
23|(211-1);；11=4×2+3
47|(223-1);；23=4×5+3
167|(283-1);,.83=4×20+3
2,p=2n×32+1,则（6p+1）|(2P-1),
例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1
439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1
3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3,p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）
例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1
1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
8分解公式编辑
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
立方和（差）
两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差.
即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
证明如下： a3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=(a-b)a3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
十字相乘公式
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.要务必注意各项系数的符号.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab