作业帮奇函数f(x)的定义域为R,[0,＋∞）上为增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立?求适合的所有实数m
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 09:47:44
![奇函数f(x)的定义域为R,[0,＋∞）上为增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立?求适合的所有实数m](/uploads/image/z/2428795-19-5.jpg?t=%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAR%2C%5B0%2C%EF%BC%8B%E2%88%9E%EF%BC%89%E4%B8%8A%E4%B8%BA%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%BD%930%E2%89%A4%CE%B8%E2%89%A4%CF%80%2F2%E6%97%B6%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E4%BD%BFf%EF%BC%88cos2%CE%B8-3%EF%BC%89%2Bf%EF%BC%884m-2mcos%CE%B8%EF%BC%89%3Ef%EF%BC%880%EF%BC%89%E5%AF%B9%E6%89%80%E6%9C%89%CE%B8%E2%88%88%5B0%2C%CF%80%2F2%5D%E5%9D%87%E6%88%90%E7%AB%8B%3F%E6%B1%82%E9%80%82%E5%90%88%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E5%AE%9E%E6%95%B0m)
奇函数f(x)的定义域为R,[0,＋∞）上为增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立?求适合的所有实数m
奇函数f(x)的定义域为R,[0,＋∞）上为增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m
使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立?求适合的所有实数m
奇函数f(x)的定义域为R,[0,＋∞）上为增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立?求适合的所有实数m
由题意,f(x)在x=0处有定义且在[0,+∞)上是增函数,
故f(x)在(－∞,+∞)上连续且为增函数
由f(0)=-f(-0),得f(0)=0
f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞f(0)=0
移向变形得
f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)=f(2mcosθ-4m)
∴由f(x)(－∞,+∞)上连续且为增函数,得
cos2θ-3>2mcosθ-4m
2cos²θ-4-2mcosθ+4m>0
cos²θ-mcosθ+(2m-2)>0
根据题意,θ∈[0,π/2]时,cosθ∈[0,1]
令t=cosθ∈[0,1]
则,题目变成t∈[0,1]时,t²-mt+(2m-2)>0恒成立,求m的取值范围
令f(t)=t²-mt+(2m-2),此函数对应的抛物线开口向上,对称轴t=m/2,
分类讨论：
①当此抛物线对称轴t=m/2在区间[0,1]内时,m∈[0,2],
函数最小值(2m-2)-m²/4>0即可,此时m²-8m+81,与m2,
只要f(1)>0即可,此时1-m+2m-2=m-1>0,推出m>1,
∴m>2
综上所述,m的取值范围是(4-2√2,+∞)