数学微积分——求极限求极限limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3要求详解。 可不可以把sinx换成x再用洛必达法则求极限？

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 10:05:51
数学微积分——求极限求极限limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3要求详解。 可不可以把sinx换成x再用洛必达法则求极限？
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数学微积分——求极限
求极限limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3
要求详解。
可不可以把sinx换成x再用洛必达法则求极限？

数学微积分——求极限求极限limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3要求详解。 可不可以把sinx换成x再用洛必达法则求极限？
这种情况下不可以直接把sinx换成x再用洛必达法则,
limx→0（e^xsinx-x（x+1））/x^3 （用洛必达,上下求导）
=limx→0（e^xsinx+e^xcosx-2x-1）/3x^2（继续用洛必达,上下求导）
=limx→0（2e^xcosx-2）/6x（继续用洛必达,上下求导）
=limx→0（2e^xcosx-2e^xsinx）/6
=（2-0）/6
=1/3

泰勒展开(x=0处),忽略高阶项
e^x =1+x+(1/2)x^2
sin(x) =x
（e^xsinx-x（x+1））/x^3
={[1+x+(1/2)x^2]x-x（x+1）}/x^3
=(x+x^2 +(1/2)x^3-x^2-x)/x^3
=(1/2)x^3/x^3
=1/2

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