证明:如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 13:34:28
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证明:如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
证明:如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
证明:如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关
反证法,若线形相关,则存在一组不全为0的系数k1、k2、k3:
k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0
整理得:
(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0
由α、β、γ 线性无关,知k1+k3=k1+k2=k2+k3=0
解得k1=k2=k3=0,与k1、k2、k3不全为0矛盾.
故α+β、β+γ、γ+α线性无关
线性代理太难了,尤其在网页上输入那些符号难上加难呀,还记得下面这个定理吧
定理4,如果已知某向量组(向量个数为n)线性无关,则此向量组中的每个向量增加一个分量而得到的多一维的向量组(向量个数还是n)一定仍然线性无关。增加一维分量如此,增加任意k维分量显然也是如此。
具体的证明请看下面这个链接的反证法。
http://sxyd.sdut.edu.cn/xiandai/3.2....
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线性代理太难了,尤其在网页上输入那些符号难上加难呀,还记得下面这个定理吧
定理4,如果已知某向量组(向量个数为n)线性无关,则此向量组中的每个向量增加一个分量而得到的多一维的向量组(向量个数还是n)一定仍然线性无关。增加一维分量如此,增加任意k维分量显然也是如此。
具体的证明请看下面这个链接的反证法。
http://sxyd.sdut.edu.cn/xiandai/3.2.pdf
输入实在不便,自已看吧。
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利用反证法证明。
假设α+β、β+γ、γ+α线性相关,则α+β=m(β+γ)+n(γ+α)=mβ+(m+n)γ+nα;
推出α(1-n)=(m-1)β+(m+n)γ;若n不等于1则:
推出α=(m-1)β/(1-n)+(m+n)γ/(1-n);
推出α可以用β和γ表示,系数是(m-1)/(1-n)和(m+n)/(1-n);
则推出αβγ线性相关,所以假设不成...
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利用反证法证明。
假设α+β、β+γ、γ+α线性相关,则α+β=m(β+γ)+n(γ+α)=mβ+(m+n)γ+nα;
推出α(1-n)=(m-1)β+(m+n)γ;若n不等于1则:
推出α=(m-1)β/(1-n)+(m+n)γ/(1-n);
推出α可以用β和γ表示,系数是(m-1)/(1-n)和(m+n)/(1-n);
则推出αβγ线性相关,所以假设不成立,推出α+β,β+γ,γ+α线性无关。
若n=1,则(1-m)β=(m+1)γ;同理可分m等于与不等于1两种情况讨论:
若m不等于1则βγ线性相关;若m等于1则γ=0,nα+mβ+kγ=0,当m=n=0,k可以为任意常数,因此α、β、γ 线性相关,所以与原条件矛盾,假设不成立,推出 α+β、β+γ、γ+α 线性无关。
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