已知f(x)的定义域为(0,正无穷),并且在其定义域上为增函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 01:56:34
![已知f(x)的定义域为(0,正无穷),并且在其定义域上为增函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3](/uploads/image/z/2479579-43-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BA%280%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E5%9C%A8%E5%85%B6%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%8A%E4%B8%BA%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%EF%BC%88x%2By%EF%BC%89%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89%2Bf%EF%BC%88y%EF%BC%89%2Cf%EF%BC%882%EF%BC%89%3D1%2C%E8%AF%95%E8%A7%A3%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Ff%EF%BC%88x%EF%BC%89%2Bf%EF%BC%88x-2%EF%BC%89%EF%BC%9C3)
已知f(x)的定义域为(0,正无穷),并且在其定义域上为增函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3
已知f(x)的定义域为(0,正无穷),并且在其定义域上为增函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3
已知f(x)的定义域为(0,正无穷),并且在其定义域上为增函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3
首先满足定义域的限制:
x>0,x-2>0 得:x>2
f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1,
则f(4)=f(2+2)=2f(2)=2
f(6)=f(2+4)=f(2)+f(4)=3
f(x)+f(x-2)=f(2x-2)
所以,原不等式化为:f(2x-2)
令x=1,y=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1
f(1)=1/2
所以令x=1,y=2
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=1/2+1=3/2
令x=3,y=3
f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=3/2+3/2=3
所以
f(x)+f(x-2)
所以有
2x-2<6
2x<8
x<4
首先,由函数的定义域知道,x>0, x-2>0,所以x>2
其次,f(x) = f(x-2 + 2) = f(x-2) + f(2) = f(x-2)+1
f(x)+f(x-2) = f(x-2) + 1 +f(x-2) = 2f(x-2) + 1 < 3
f(x-2) < 1
又f(x) 为(0,+∞)上的增函数,且f(2) = 1,即f(x-2) < f(2) =1
所以,x-2 < 2
x<4
综上可得,2< x <4