作业帮已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 08:41:52
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点 (-1,0)
即：a-b+c=0
b=a+c
而x≤f(x)≤(1+x2)/2
即：x≤ax2+bx+c≤(1+x2)/2
ax2+(b-1)x+c≥0 ①
(a-1/2)x2+bx+c-1/2≤0 ②
要使①恒成立,则要：
a>0
(b-1)2-4ac≤0
要使②恒成立,则要：
a-1/2
令x=1，则1<=f(1)<=1，所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得：a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立，即（1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
（1）1/2-a=0 显然不成立
（2）f（x）为二次函...
全部展开
令x=1，则1<=f(1)<=1，所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得：a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立，即（1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
（1）1/2-a=0 显然不成立
（2）f（x）为二次函数，恒大于0，只有二次项系数大于0，且判别式<=0
即1/2-a>0 且判别式=（4a-1）^2<=0
那么必须a=1/4
那么c=1/4
将验证a=1/4 b=1/2 c=1/4
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