作业帮已知a,b为正实数,比较a3+b3与a2b+ab2的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 19:12:54
已知a,b为正实数,比较a3+b3与a2b+ab2的大小
已知a,b为正实数,比较a3+b3与a2b+ab2的大小
已知a,b为正实数,比较a3+b3与a2b+ab2的大小
a^3+b^3-a^2b-ab^2
=a^3-a^2b+b^3-ab^2
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)^2(a+b)>0
∴a^3+b^3＞a^2b+ab^2
如果本题有什么不明白可以追问,
（a³+b³）/(a²b+ab²)
=（a+b）(a²-ab+b²)/[ab(a+b)]
=（a²-ab+b²）/ab≥（2ab-ab）/ab=1
当a=b时 a³+b³=a²b+ab²
当a≠b时，a³+b³＞a²b+ab²
a^3-a^2b+b^3-ab^2
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)^2(a+b)>0
∴a3+b3>a2b+ab2
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有不明白的可以追问！
立方差：a^3-...
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a^3-a^2b+b^3-ab^2
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)^2(a+b)>0
∴a3+b3>a2b+ab2
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立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
和的立方：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
差的立方：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
收起
（a^3+b^3）-（a^2b+ab^2)
=a^3+b^3-a^2b-ab^2
=a^3-ab^2+b^3-a^2b
=a(a^2-b^2)+b(b^2-a^2)
=a(a^2-b^2)-b(a^2-b^2)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)
=(a+b)(a-b)^2
由于这个式子肯定≥0，所以
a3+b3≥a2b+ab2
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