已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 23:34:44
![已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1](/uploads/image/z/2546916-60-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dalnx%2Fx%2B1%2Bb%2Fx%E6%9B%B2%E7%BA%BFf%28x%29%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%881%2Cf%281%29%29%E5%87%BA%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%BAx%2B2y-3%3D0+%2C%E6%B1%82a+b%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%882%EF%BC%89+%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%BD%93x%EF%BC%9E0%E4%B8%94x%E2%89%A01%E6%97%B6%2Cf%28x%29%EF%BC%9E+lnx%2Fx-1)
已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值
(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x曲线f(x)在点(1,f(1))出的切线方程为x+2y-3=0 ,求a b的值(2) 证明当x>0且x≠1时,f(x)> lnx/x-1
(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由(1)知f(x)=lnx/(x+1)+1/x
所以f(x)-lnx/(x-1)
= lnx/(x+1)+1/x-lnx/(x-1)
=-2 lnx/﹙x²-1﹚+1/x
=[1/(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚/x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚/x(x>0),
h′(x)=2/x-[2x²-(x²-1)]/x²=-(x-1)²/x²
所以当x≠1时,h′(x)<0,所以函数单调递减,而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0
此时1/(1-x²)>0,
可得1/﹙1-x²﹚*h(x)>0;
x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,
此时1/(1-x²)