不定积分 倒代换倒代换∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?倒代换到底在哪些地方可以使用?为什么有的分母高次时可以用?不好意思,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 22:45:54
![不定积分 倒代换倒代换∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?倒代换到底在哪些地方可以使用?为什么有的分母高次时可以用?不好意思,](/uploads/image/z/2565995-59-5.jpg?t=%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86+%E5%80%92%E4%BB%A3%E6%8D%A2%E5%80%92%E4%BB%A3%E6%8D%A2%E2%88%AB%28x%5E2%2B1%29%2F%28x%5E4%2B1%29dx%3D%E2%88%ABt%5E2%2A%28t%5E2%2B1%29%2F%28t%5E4%2B1%29d%28-1%2Ft%29%3D-%E2%88%AB%28t%5E2%2B1%29%2F%28t%5E4%2B1%29dt%E9%82%A3%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84%E8%AF%9D%E4%B8%8D%E6%98%AF%E2%88%AB%28x%5E2%2B1%29%2F%28x%5E4%2B1%29dx%3D0%3F%E5%80%92%E4%BB%A3%E6%8D%A2%E5%88%B0%E5%BA%95%E5%9C%A8%E5%93%AA%E4%BA%9B%E5%9C%B0%E6%96%B9%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BD%BF%E7%94%A8%EF%BC%9F%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%9C%89%E7%9A%84%E5%88%86%E6%AF%8D%E9%AB%98%E6%AC%A1%E6%97%B6%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%94%A8%EF%BC%9F%E4%B8%8D%E5%A5%BD%E6%84%8F%E6%80%9D%EF%BC%8C)
不定积分 倒代换倒代换∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?倒代换到底在哪些地方可以使用?为什么有的分母高次时可以用?不好意思,
不定积分 倒代换
倒代换
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?
倒代换到底在哪些地方可以使用?为什么有的分母高次时可以用?不好意思,我写式子的时候写错了,多了个负号~
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
不定积分 倒代换倒代换∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?倒代换到底在哪些地方可以使用?为什么有的分母高次时可以用?不好意思,
设G(x)=∫(x^2+1)/(x^4+1)dx,倒代换x=1/t之后,虽然有
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
但左边积分号中的t是绝对不能换成x的,这不是定积分,这里只意味着
G(x)=-G(t)=-G(1/x)罢了,这只是原函数G(x)的某个性质
∫[(x²+1)/(x⁴+1)]dx=∫[t²(t²+1)/(t⁴+1)]d(-1/t)=-∫[(t²+1)/(t⁴+1)]dt
那这样的话不是∫(x²+1)/(x⁴+1)dx=0?
求解答啊~~~纠结~~~
答:何谓“倒代换”,我第一次听说,不知何意。但就本题讲,运算是错的!...
全部展开
∫[(x²+1)/(x⁴+1)]dx=∫[t²(t²+1)/(t⁴+1)]d(-1/t)=-∫[(t²+1)/(t⁴+1)]dt
那这样的话不是∫(x²+1)/(x⁴+1)dx=0?
求解答啊~~~纠结~~~
答:何谓“倒代换”,我第一次听说,不知何意。但就本题讲,运算是错的!
∵d(-1/t)=dt/t²,∴∫[t²(t²+1)/(t⁴+1)]d(-1/t)=∫[(t²+1)/(t⁴+1)]dt,右边的积分符号前面没有负号。
那就是说他这个代换没有任何意义!也就不会有∫(x²+1)/(x⁴+1)dx=0的荒谬结论。
令x=tanu,则dx=sec²udu,于是∫[(x²+1)/(x⁴+1)]dx=∫[(sec⁴u)/(tan⁴u+1)]du
=∫[(sec⁴u)/(sin⁴u+cos⁴u)sec⁴u]du=∫du/(sin⁴u+cos⁴u)=∫du/[(sin²u+cos²u)²-2sin²ucos²u]
=∫du/[1-(1/2)sin²2u]=∫du/[1-(1/4)(1-cos4u)]=4∫du/(3+cos4u)
收起
真是伟大的发明啊,我问过很多人,看不出来毛病,看来要数学系的高人来才行。先做个记号。