abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 01:31:18
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abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
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abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
证明:
因为
(a-b)²≥0得:
a²+b²≥2ab;
同理可得:
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
上面三式相加得:
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac);
a²+b²+c²≥ab+bc+ac;
ab+bc+ac≤1;
(|a+b+c|)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
=1+2(ab+bc+ac)≤1+2•(1)=3
即证:|a+b+c|≤√3.
利用柯西不等式是最简捷的!
(a+b+c)^2≦(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)=3×1=3,∴|a+b+c|≦√3。