已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 18:26:20
![已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a](/uploads/image/z/2692694-38-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dalnx%2F%28x%2B1%29+%2B+b%2Fx+%2C%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Df%28x%29%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%881%2Cf%EF%BC%881%EF%BC%89%EF%BC%89%E5%A4%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%BAx%2B2y-3%3D0%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%BD%93x%EF%BC%9E0%2C%E4%B8%94x%E2%89%A01%E6%97%B6%2Cf%28x%29%EF%BC%9Elnx%2F%28x-1%29+%2B+k%2Fx+%2C%E6%B1%82k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.%E8%80%81%E5%B8%88%E7%BB%99%E7%9A%84%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E7%AD%94%E6%A1%88%E6%98%AF%3A%E7%94%B1%E9%A2%98%E6%84%8Ff%EF%BC%881%EF%BC%89%3D1%2C%E5%8D%B3%E5%88%87%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87%E6%98%AF%EF%BC%881%2C1%EF%BC%89f%E2%80%B2%28x%29%3Da)
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0
如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.
老师给的正确答案是:
由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ,且过点(1,1),故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1,b=1
求得f(x)=lnx /x+1 +1/ x ,所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x)
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x (x>0),则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
(i)设k≤0,由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得1 /1-x2 h(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得1 /1-x2 h(x)>0
从而当x>0,且x≠1时,f(x)-(lnx/ x-1 +k /x )>0,即f(x)>lnx/ x-1 +k /x .
(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,1 /1-k )时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而
h(1)=0,故当x∈(1,1 /1-k )时,h(x)>0,可得1 /1-x^ h(x)<0,与题设矛盾.
(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得1 /1-x^ h(x)<0,与题设矛盾.
综合得,k的取值范围为(-∞,0]
我的疑问是:
为什么k要分这三类呢?还有写x的区间的时候,1 /1-k 怎么来的?
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
f(x)=lnx /(x+1) +1/ x ,
由当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x得
f(x)-[lnx/(x-1)+k/ x ]=2lnx/(1-x^2) +(1-k)/x,
考虑函数h(x)=2lnx+(1-k)(1-x^2)/x,(x>0,x≠1),
则h'(x)=2/x+(1-k)[-1/x^2-1)=[(k-1)(x^2+1)+2x]/x^2,
考虑上式分子中x^2的系数的符号,∴要分两类:k-1>=0,