证明级数的收敛若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:51:50
![证明级数的收敛若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了,](/uploads/image/z/2794307-59-7.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E7%BA%A7%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%94%B6%E6%95%9B%E8%8B%A5%E7%BA%A7%E6%95%B0an%EF%BC%88n%E4%BB%8E1%E5%88%B0%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%E6%94%B6%E6%95%9B%2C%E6%95%B0%E5%88%97bn%E6%94%B6%E6%95%9B%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E7%BA%A7%E6%95%B0anbn%EF%BC%88n%E4%BB%8E1%E5%88%B0%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%E6%94%B6%E6%95%9B%2C%E6%8F%90%E7%A4%BA%E8%AF%B4%E7%94%A8%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E6%94%B6%E6%95%9B%E5%87%86%E5%88%99%2C%E4%BD%86%E6%88%91%E8%AF%81%E4%B8%8D%E5%87%BA%E6%9D%A5%E2%80%A6%E2%80%A6%E7%94%A8%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E6%94%B6%E6%95%9B%E7%9A%84%E6%88%91%E5%B7%B2%E7%BB%8F%E5%81%9A%E8%BF%87%E4%BA%86%EF%BC%8C)
证明级数的收敛若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了,
证明级数的收敛
若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……
用绝对收敛的我已经做过了,
证明级数的收敛若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了,
这题明显少条件,如果bn是单调的就可以了.否则结论不成立.
反例:an=(-1)^n/n^(1/2),级数an收敛.
bn=(-1)^n/n^(1/2),数列bn收敛于0,但
级数anbn=级数1/n是发散的.
题目条件等价于级数(bn-b(n-1))是绝对收敛的,这就足够了.
证明得用到Abel分部求和公式:
记a1+...+ak=Sk,则a1b1+...+akbk
=Skbk-【S1(b1-b2)+S2(b2-b3)+...+S(k-1)(b(k-1)-bk)】 (*).
注意到条件能得到Sk有极限,bk有极限,且由于Sk有极限故有界,因此
级数(Sk(bk-b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的,因此(*)式
当k趋于无穷时是有极限的,即级数anbn是收敛的.
ps:你可以自己用Cauchy收敛原理去证,当然还是得用上面的Abel分部求和.
证明过程类似,不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了.
自己试一下吧.
如果没有恒正条件的话无法判定:
取an=bn=(-1)/n^(1/2),由Leibnitz判别法知∑an,∑bn收敛,但∑anbn=∑1/n发散;
取an=bn=(-1)/n,则∑an,∑bn,∑anbn都收敛
如果加上条件an,bn恒正的话就都收敛:
∑an收敛说明an有界,设an
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如果没有恒正条件的话无法判定:
取an=bn=(-1)/n^(1/2),由Leibnitz判别法知∑an,∑bn收敛,但∑anbn=∑1/n发散;
取an=bn=(-1)/n,则∑an,∑bn,∑anbn都收敛
如果加上条件an,bn恒正的话就都收敛:
∑an收敛说明an有界,设an
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