定积分在几何上的应用这一节里面遇到极坐标形式的曲线求面积不画图怎么求?比如 下面这两个题：求下列各曲线所围成图形的面积：怎么确定积分限?再说我也画不出图. 第二小题说由对称

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/28 15:22:21
定积分在几何上的应用这一节里面遇到极坐标形式的曲线求面积不画图怎么求?比如 下面这两个题：求下列各曲线所围成图形的面积：怎么确定积分限?再说我也画不出图. 第二小题说由对称
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定积分在几何上的应用这一节里面遇到极坐标形式的曲线求面积不画图怎么求?
比如 下面这两个题：
求下列各曲线所围成图形的面积：

怎么确定积分限?再说我也画不出图.
 
第二小题说由对称性可知所求面积为第一象限部分面积的4倍,这个是怎么来的?是画图看出来的吗?  不画图能做这样的题吗?

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为什么不画图?不画图积分限如何定?提倡要画图.
图形如下：

第1题如左图,直接看出结果为πa^2,第2题为星形线的参数方程,面积应该是3/8πa^2.
如果真不想画图,那就先分析出θ的取值范围,再确定极点位置,代入相应的极坐标公式,就麻烦多了.
（1）∵ρ>=0∴θ在第3,4象限  -π/2<=θ<=π/2  ∵ρ的取值范围为【0,2a】∴极点在边界上
面积=∫[-π/2,π/2]dθ=∫[0,2acosθ]ρdρ
=1/2∫[-π/2,π/2]4a^2cos^2(θ)dθ
=a^2∫[-π/2,π/2](1+cos2θ)dθ
=πa^2-1/2sin2θ|[-π/2,π/2]
=πa^2
(2)从上面右图立即看出对称性,如果真不想画图,就把参数方程化为直角坐标形式的方程：
x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)
照样能分析出对称性,然后用二重积分计算出面积.
 
再次忠告您,还是要作图,做多了,就好了,就会感到其乐无穷!

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