已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立,求a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 17:48:00
![已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立,求a的取值范围](/uploads/image/z/3000460-4-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5cos%5E2%CE%B8%2B%28a-6%29sin%CE%B8%2B2a-12%E2%89%A40%E5%AF%B9%CE%B8%E2%88%88R%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立,求a的取值范围
已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立,求a的取值范围
已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立,求a的取值范围
已知cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0对θ∈R恒成立
则cos^2θ+asinθ-6sinθ+2a-12≤0
则a(sinθ+2)≤12+6sinθ-cos^2θ
由于sinθ+2>0
所以a≤(12+6sinθ-cos^2θ)/(sinθ+2)=(11+6sinθ+sin^2θ)/(sinθ+2)
所以只需求(11+6sinθ+sin^2θ)/(sinθ+2)的最小值即可
令t=sinθ,g=(11+6sinθ+sin^2θ)/(sinθ+2)
则g=(11+6t+t^2)/(t+2)=(t+2)+3/(t+2)+2>=2(1+根号3)
所以a
cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0,
a(sinθ+2)≤12+6sinθ-cos²θ
=12+6sinθ-1+sin²θ
=11+6sinθ+sin²θ
=(sinθ+2)²+2(sinθ+2)+3,
即a≤(sinθ+2)+2+ 3/(sinθ+2)对θ∈R恒成立,
令t=sinθ+...
全部展开
cos^2θ+(a-6)sinθ+2a-12≤0,
a(sinθ+2)≤12+6sinθ-cos²θ
=12+6sinθ-1+sin²θ
=11+6sinθ+sin²θ
=(sinθ+2)²+2(sinθ+2)+3,
即a≤(sinθ+2)+2+ 3/(sinθ+2)对θ∈R恒成立,
令t=sinθ+2,t∈[1,3],
那么a≤t+2+ 3/t对t∈[1,3]恒成立,
即求a≤t+2+ 3/t在[1,3]上的最小值,
因为t+2+ 3/t≥2√(t*3/t)+2=2+2√3,当且仅当t=√3时等号成立,
所以a≤2+2√3。
收起
cos²θ=1-sin²θ
设sin²θ=t²
sinθ∈[-1,1]
你肯定能写出来