作业帮具体描述一下牛顿迭代法的使用方法
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 19:57:13
具体描述一下牛顿迭代法的使用方法
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牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要.方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根.另外该方法广泛用于计算机编程中.
设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值.过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值.重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式.
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法.把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2!+… 取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n)).