作业帮已知f(x)=2+log3x,x∈[1/81,9]求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:44:37
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已知f(x)=2+log3x,x∈[1/81,9]求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
已知f(x)=2+log3x,x∈[1/81,9]求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
已知f(x)=2+log3x,x∈[1/81,9]求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
设：log(3)[x]=t
则：
f(x²)=2＋log(3)[x²]中,x²∈[1/81,9],即：
函数y=[f(x)]²＋f(x²)的定义域是：x∈[1/9,3]
此时有：
y=(t＋2)²＋2＋2t
=(t＋3)²－3,其中t∈[－2,1]
结合二次函数y=t²＋2t的图像,得：y∈[0,13]
即函数y的最大值是13,最小值是0
对数有意义，x>0
x，x²均在定义域上，1/81≤x≤9
1/81≤x²≤9 x>0 1/9≤x≤3
综上，得1/9≤x≤3
底数3>1，对数值随真数增大而递增
[2+log3(1/9)]²+[2+log3(1/81)]=(2-2)²+(2-4)=-2
[2+log3(3)]²+[...
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对数有意义，x>0
x，x²均在定义域上，1/81≤x≤9
1/81≤x²≤9 x>0 1/9≤x≤3
综上，得1/9≤x≤3
底数3>1，对数值随真数增大而递增
[2+log3(1/9)]²+[2+log3(1/81)]=(2-2)²+(2-4)=-2
[2+log3(3)]²+[2+log3(9)]=(2+1)²+(2+2)=13
-2≤y≤13
ymax=13；ymin=-2
提示：本题容易犯的错误就是直接拿x的定义域套，没有考虑x的取值范围实际上要比定义域小。
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∵f（x）=2+log3x
∴y=log32x+6log3x+6
又∵1/81≤x≤9
∴log31/81≤log3x≤log39，即-4≤log3x≤2
若令log3x=t，则问题转化为求函数
g（t）=t2+6t+6，-4≤t≤2的最值．
∵g（t）=t2+6t+6，=（t+3）2-3
∴当-4≤t≤2
∴g（t）max=g（2）...
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∵f（x）=2+log3x
∴y=log32x+6log3x+6
又∵1/81≤x≤9
∴log31/81≤log3x≤log39，即-4≤log3x≤2
若令log3x=t，则问题转化为求函数
g（t）=t2+6t+6，-4≤t≤2的最值．
∵g（t）=t2+6t+6，=（t+3）2-3
∴当-4≤t≤2
∴g（t）max=g（2）=22，g（t）min=g（-3）=-3
所以所求函数的最大值是22，最小值是-3．
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