1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题

1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题
1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题

1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题
2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题:（共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分）
1、如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

2、若M= (x,y是实数),则M的值一定是（ ）
（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）整数
3、已知点I是锐角三角形ABC的内心, , , 分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点.若点B在△ 的外接圆上,则∠ABC等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
4、设A= ,则与A最接近的正整数是（ ）
（A）18 （B）20 （C）24 （D）25
5、设a、b是正整数,且满足于 , ,则 等于（ ）
（A）171 （B）177 （C）180 （D）182
二、填空题: （共5小题,每小题6分,满分30分）
6、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针（O为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大.
7、在直角坐标系中,抛物线 （m>0）与x轴交于A,B两点.若A,B两点到原点的距离分别为OA,OB,且满足 ,则m的值等于 .
8、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是：第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,…,J,Q,K的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,……如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是 .
9、已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2.连结AD和BE,它们相交于点P.过点P分别作PQ‖CA,PR‖CB ,它们分别与边AB交于点Q,R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 .
10、已知 都是正整数,且 =58,若 的最大值为A,最小值为B,则A＋B的值等于 .
三、解答题:（共4题,每小题15分,满分60分）
11、某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人,也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少个同学.
12、已知p、q都是质数,且使得关于x的二次方程 至少有一个正整数根,求所有的质数对（p ,q）.
13、如图,分别以△ABC（△ABC为锐角三角形）的边AB,BC,CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB,EBC,FAC.求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF.

14、从1,2,…,205共205个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c (a2005年全国初中数学竞赛
题号 一 二 三 总分
1～5 6～10 11 12 13 14
得分
一、选择题:(满分30分)
1.如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm,操作：⑴将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c,则△GFC的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x,y是实数),则M的值一定是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设 ,则与A最接近的正整数是( )
A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内,二次函数 的函数值中整数的个数是( )
A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过_____秒后,△OAB的面积第一次达到最大.
7.在直角坐标系中,抛物线 与x轴交于A,B的两点.若A,B两点到原点的距离分别为OA,OB,且满足 ,则m=_____.
8.有两幅扑克牌,每幅的排列顺序是：第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,…,J,Q,K的顺序排列.某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起,然后从一到下把第一张丢去,把第二张放在最底层,再把第三张丢去,把第四张放在底层,……如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_________.
9.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2.连结AD和BE,它们交于点P.过P分别作PQ‖CA,PR‖CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________
10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数,且x1+x2+x3+…+x19=59,x12+x22+x32+…+x192的最大值为A,最小值为B,则A+B的值等于_________.
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟.这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h.试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.
12.某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列；如果减少120人,也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有同学多少人.
13.已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0,
至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).
14.如图,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C、D两点.连结BC、BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点.M,N分别是 和 的中点.求证：